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capitolo i — § 2-3

in fondo sostituire il concetto di un tale rapporto e l’algebra dei rapporti. E come simbolo per indicare un rapporto, per esempio, delle lunghezze di due segmenti potremmo addirittura assumere una figura composta con due segmenti uguali ai segmenti dati.

Ognuno capisce quanto ciò sarebbe incomodo: e lo studio dei rapporti, così come ha svolto Euclide, indica già quanta complicazione ne verrebbe alla teoria.

Ma non è detto che i simboli da noi introdotti sieno gli unici possibili. Che si possano mutare è ben evidente. Basta, per esempio, pensare che nel nostro sistema (decimale) di numerazione il numero 10 (il numero della dita delle due mani) ha un posto preponderante. Se noi gli sostituissimo un altro numero (è stato già proposto il numero 12) come base del sistema di scrittura dei numeri, sarebbe già cambiato il nostro simbolismo).

Osservazione critica. — Il presente modo di esporre la teoria dei numeri irrazionali, per quanto molto semplice sotto molti riguardi, ha però l’inconveniente che la definizione pare dipenda appunto dal numero 10 scelto a base del nostro sistema di numerazione. Bisognerebbe perciò definire l’uguaglianza di due numeri (che avessero anche infinite cifre dopo la virgola) scritti in due differenti sistemi di numerazione: ciò che del resto non presenterebbe alcuna difficoltà. Se per esempio si ammettesse di ricorrere alla misura dei segmenti, due tali numeri di direbbero uguali, quando sono misura di segmenti uguali. E sarebbe anche molto facile trasformare questa proprietà in una proprietà equivalente di carattere puramente aritmetico.

§ 3 — Limite superiore e inferiore.
Operazioni sui numeri positivi.

$\alpha$) Sia G una classe di numeri $n$ positivi. Cerchiamo, se esiste, il più grande di questi numeri, che noi indicheremo con $N$. Evidentemente la parte intera di $N$ dovrebbe essere la più grande delle parti intere dei numeri $n$. Distinguiamo due casi:

A) Tra le parti intere dei numeri $n$ non ve n’è alcuna che sia più grande di tutte le altre; cioè, preso ad arbitrio un intero $K$, esiste almeno un numero $n$ di $G$, la cui parte intera è uguale o maggiore di $K$. In tal caso diremo che $+\infty$ è il limite superiore dei numeri $n$ di $G$; frase che è soltanto un modo di dire e che non vuole introdurre affatto l’infinito come nuovo ente o numero. Si suole anche dire che $+\infty$ è maggiore di ogni numero (frase che anch’essa è soltanto un modo di dire). In questo caso A la classe $G$ non contiene un numero massimo (maggiore di tutti gli altri). Esempi di questo tipo sono le classi di tutti gli interi, o di tutti gli interi pari.

    B) Tra le parti intere dei numeri $n$ di $G$ ve ne è una massima; esiste cioè un intero $m$, tale che almeno un numero $n$ di $G$ abbia $m$ come parte intera, ma nessun numero di $G$ abbia parte intera maggiore di $m$. In questo caso sia $m_{1}$ la massima prima cifra decimale di quei numeri di $G$, che hanno $m$ come parte intera; sia $m_{2}$ la massima seconda cifra decimale di quei numeri di $G$, che hanno $m$ per parte intera ed $m_{1}$ per