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CAPITOLO VII — § 46

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§ 46. — Serie di funzioni.

Siano $f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x),\cdots$ infinite funzioni determinate in un campo $T$. Siano $M_{1},M_{2},M_{3},\cdots$ rispettivamente i limiti superiori dei loro moduli $|f_{(}x)|,|f_{2}(x)|,|f_{3}(x)|$, ecc.

Se la serie di questi limiti superiori

[1]                              $M_{1}+M_{2}+M_{3}+\cdots$

converge, allora è convergente assolutamente anche la serie

$f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\cdots$

in ogni punto del campo $T$¹.

Una tale serie $f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\cdots$ si dirà totalmente convergente.

Se la costante $L_{n}$ non è inferiore ad alcuno dei valori delle $|f_{n}(x)|$, e se la serie $L_{1}+L_{2}+L_{3}+\cdots$ converge, la serie $f_{1}+f_{2}+f_{3}+\cdots$ è totalmente convergente.

Infatti dalle $L_{n}\geq |f_{n}(x)|$ si deduce $L_{n}\geq M_{n}$. Dalla convergenza della serie delle $L$ si deduce quindi la convergenza della serie delle $M$, e quindi per definizione, la totale convergenza della serie delle $f_{(}x)$.

Una serie totalmente convergente è (come abbiamo già osservato) anche assolutamente convergente. Il teorema reciproco non è generalmente vero.

Supponiamo che esista il $\lim _{x=a+}f_{1}(x)$, che noi indicheremo con $l_{1}$².

È chiaramente $|l_{n}|\leq M_{n}$; e quindi la serie

[2]                              $l_{1}+l_{2}+l_{3}+\cdots$

converge assolutamente. Sia $M$ la somma di [1], e sia ε un numero piccolo a piacere. Esisterà un intero n così grande che

$M-(M_{1}+M_{2}+\cdots +M_{n})<{\frac {\epsilon }{3}}$

cioè

$M_{n+1}+M_{n+2}+M_{n+3}+\cdots <{\frac {\epsilon }{3}}$.

1. Infatti delle $|f_{n}|\leq M_{n}$ si deduce che per ogni valore di $x$ nel campo la serie $|f_{1}|+|f-2|+|f_{3}|+\cdots$ converge, e quindi (§ 45) la serie $f_{1}+f_{2}+f_{+}\cdots$ converge assolutamente.
2. È inclusa l'ipotesi che la $x$ varii in $T$,e quindi anche che in ogni intorno destro di $a$ esistano punti di $T$, distinti da $a$.