§ 46. — Serie di funzioni.
Siano infinite funzioni determinate in un campo . Siano rispettivamente i limiti superiori dei loro moduli , ecc.
Se la serie di questi limiti superiori
[1]
converge, allora è convergente assolutamente anche la serie
in ogni punto del campo 1.
Una tale serie si dirà totalmente convergente.
Se la costante non è inferiore ad alcuno dei valori delle , e se la serie converge, la serie è totalmente convergente.
Infatti dalle si deduce . Dalla convergenza della serie delle si deduce quindi la onvergenza della serie delle , e quindi per definizione, la totale convergenza della serie delle .
Una serie totalmente convergente è (come abbiamo già osservato) anche assolutamente convergente. Il teorema reciproco non è generalmente vero.
Supponiamo che esista il , che noi indicheremo con 2.
È chiaramente ; e quindi la serie
[2]
converge assolutamente. Sia la somma di [1], e sia ε un numero piccolo a piacere. Esisterà un intero n così grande che
cioè
.
- ↑ Infatti delle si deduce che per ogni valore di nel campo la serie converge, e quindi (§ 45) la serie converge assolutamente.
- ↑ È inclusa l'ipotesi che la varii in ,e quindi anche che in ogni intorno destro di esistano punti di , distinti da .