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capitolo vii — § 42

CAPITOLO VII.

SERIE

§ 42. — Definizioni e primi teoremi.

α) Siano date infinite quantità $u_{1},u_{2},u_{3}.\cdots ,u_{n},\cdots$ determinate dal valore dell'indice supposto intero positivo. Consideriamo la somma $s_{n}$ delle prime $n$ tra esse; poniamo cioè:

$s_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n-1}+u_{n}$ .

Se esiste ed è finito il

$\mathbf {\lim _{n=\infty }} s_{n}$ ,

la serie $s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots$

si dice convergente; e il valore $s$ di questo limite si chiama somma della serie. E si scrive:

$s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}+\ldots$

Se $\lim _{n=\infty }s_{n}$ esiste ma è infinito, la serie

$u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots$

si dice divergente. Se il $\lim _{n=\infty }s_{n}$ non esiste, la serie dicesi indeterminata. Una serie non convergente è dunque un simbolo privo di significato; e (come, p. es., le frazioni a denominatore nullo) si deve escludere dai nostri calcoli¹.

Se moltiplichiamo i termini di una serie convergente, per una stessa costante k, la serie resta ancora convergente; e la sua somma resta moltiplicata per k.

↑ Si potrebbe chiamare valore s di una serie, anzichè il $\lim _{x=\infty }s_{n}$ , qualche altro limite, p. es. il $\lim _{x=\infty }{\frac {s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{n}}{n}}$ . Con questa nuova definizione alcune serie non convergenti acquistano significato e si possono introdurre nel calcolo. (Le serie convergenti non mutano di valore con la nuova definizione). Con la nuova definizione, p. es., la serie indeterminata $1-1+1-1+1-1+\cdots$ ha il valore ${\frac {1}{2}}$ . Esistono molte definizioni di tale tipo: il significato della frase: valore di una serie non varia con la definizione scelta. Noi ci atterremo a quella classica data nel testo.

[1] Si potrebbe chiamare valore s di una serie, anzichè il $\lim _{x=\infty }s_{n}$ , qualche altro limite, p. es. il $\lim _{x=\infty }{\frac {s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{n}}{n}}$ . Con questa nuova definizione alcune serie non convergenti acquistano significato e si possono introdurre nel calcolo. (Le serie convergenti non mutano di valore con la nuova definizione). Con la nuova definizione, p. es., la serie indeterminata $1-1+1-1+1-1+\cdots$ ha il valore ${\frac {1}{2}}$ . Esistono molte definizioni di tale tipo: il significato della frase: valore di una serie non varia con la definizione scelta. Noi ci atterremo a quella classica data nel testo.

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