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140 | capitolo vii — § 42 |
CAPITOLO VII.
SERIE
§ 42. — Definizioni e primi teoremi.
α) Siano date infinite quantità determinate dal valore dell'indice supposto intero positivo. Consideriamo la somma delle prime tra esse; poniamo cioè:
.
Se esiste ed è finito il
,
la serie
si dice convergente; e il valore di questo limite si chiama somma della serie. E si scrive:
Se esiste ma è infinito, la serie
si dice divergente. Se il non esiste, la serie dicesi indeterminata. Una serie non convergente è dunque un simbolo privo di significato; e (come, p. es., le frazioni a denominatore nullo) si deve escludere dai nostri calcoli1.
Se moltiplichiamo i termini di una serie convergente, per una stessa costante k, la serie resta ancora convergente; e la sua somma resta moltiplicata per k.
- ↑ Si potrebbe chiamare valore s di una serie, anzichè il , qualche altro limite, p. es. il . Con questa nuova definizione alcune serie non convergenti acquistano significato e si possono introdurre nel calcolo. (Le serie convergenti non mutano di valore con la nuova definizione). Con la nuova definizione, p. es., la serie indeterminata ha il valore . Esistono molte definizioni di tale tipo: il significato della frase: valore di una serie non varia con la definizione scelta. Noi ci atterremo a quella classica data nel testo.