Infatti:
.
2° Sappiamo già che, se è reale, allora
.
Ebbene in virtù della definizione di Eulero, questa stessa formola vale anche se z è complesso.
Infatti: ,
dove .1
Sarà:.
Ora, posto , è:
.
Ossia, poichè , si ha .
D'altra parte , perchè ; e .
E quindi .
Perciò
. c.d.d.
Di tale definizione possiamo servirci per estendere anche a numeri negativi o complessi la teoria dei logaritmi neperiani. Sia un numero complesso. Io dirò che ne è un logaritmo a base e, se
cioè se
, ,
Dunque è il logaritmo aritmetico del modulo di .
Ed o è l'algoritmo di , o differisce da per un multiplo
- ↑ Per m molto grande il segno di , cioè il segno di è positivo, anche se x<\theta</math>; e posso supporre compreso tra .