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(V.)

Prova. Sia abbia da estrar la radice dal binomio. Suzziano ${\sqrt[{3}]{(-15+{\sqrt[{4}]{\frac {614656}{729}}})}}$ derivato dalla risoluzione della equazione $z^{3}-19z+30=0$, che ha tutte e tre le radici razionali; supposta la cercata radice $x+{\sqrt[{}]{y}}$, sarà

$x^{3}+3x^{2}{\sqrt[{}]{y}}+3xy+{\sqrt[{}]{y^{3}}}=-15+{\sqrt[{4}]{\frac {614656}{729}}}$

pongasi $x^{3}+3xy=-15$

sarà $3x^{2}{\sqrt[{}]{y}}+{\sqrt[{}]{y^{3}}}={\sqrt[{4}]{\frac {614656}{729}}}$
$x^{6}+6x^{4}y+9x^{2}y^{2}=225={\frac {6075}{27}}$
$9x^{4}y+6x^{2}y^{2}+y^{3}={\frac {784}{27}}$
$x^{6}-3x^{4}y+3x^{2}y^{2}-y^{3}={\frac {6075-784}{27}}={\frac {5291}{27}}$
$x^{2}-y={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{5291}}$; ma dal numero 5291 non si può estrar la radice cubica, non essendo egli cubo: Dunque dai binomj cubici Suzziani derivati da equazioni aventi radici razionali non si può sempre estrar la radice.

Dico quarto, che dai calcoli Suziani nascono le formule ordinarie Cardaniche.

Prova. Sit resolvenda (mi servo precisamente delle parole, e del calcolo Suzziano) æquatio $x^{3}+3ax^{2}+3bx+c=0$,in qua pro coefficiente ternarium pono, tantum facilitatis gratia. In loco in quo sunt, retineantur primus, et secundus terminus æquationis propositæ, et compleatur cubus salva jam æqualitate. Erit $x^{3}+3ax^{2}+3a^{2}x+a^{3}=3a^{2}x-3bx+a^{3}-c$. Utrinque extrabatur radix cubica. Fiet
$x+a={\sqrt[{3}]{(3a^{2}x-3bx+a^{3}-c)}}$. Ponatur
${\sqrt[{3}]{(3a^{2}x-3bx+a^{3}-c)}}={\sqrt[{3}]{(q+{\sqrt[{m}]{y}})}}+{\sqrt[{3}]{(q-{\sqrt[{m}]{y}})}}$ erit hoc ipsum æquale $x+a$. Fiat cubus ex concepta formula, qui æqualis erit cubis partium ipsius una cum triplo facti ex iisdem partibus ducti in summam ipsarum partium radicem cubi componentium, ac loco summæ ex dictis partibus æqualis $x+a$ collocetur. Erit igitur

$3a^{2}x-3bx+a^{3}-c=q+{\sqrt[{m}]{y}}+q-{\sqrt[{m}]{y}}+3(x+a){\sqrt[{3}]{(q^{2}-{\sqrt[{m}]{r}}^{2})}}$; vel facta moltiplicatione per $x+a$, et

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additis