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| 30 | Schiaparelli, | N.° IX. |
mentale, in CD il piano diametrale. Si deve immaginare che nei due minori dei quattro angoli che formano la curva in O, il cilindro copra la sfera, e nei due maggiori la sfera copra il cilindro, le due superficie toccandosi e intersecandosi simultaneamente in quel punto. Nè più difficile sarebbe mostrare come la stessa curva si adatti pure al cono descritto nella Prop. VI, coroll. IV; in questo caso si vedrebbe, come il vertice del cono essendo in O, ognuna delle due falde opposte del cono dà origine ad uno dei due lobi della curva, e come l’angolo sotto cui la curva taglia sè medesima in O, è uguale all’angolo al vertice del cono, cioè all’inclinazione.
Queste poche e semplicissime proposizioni, in cui veramente più nella sostanza che nella forma ho cercato di serbare il carattere dell’antica geometria, danno il modo di giungere alla costruzione della curva descritta dal pianeta, alla quale per la sua forma daremo il nome di lemniscata sferica; ed offrono anche già un breve quadro di alcune sue principali proprietà1. Credo inutile accrescerne il numero, prima perchè questi fiorellini di geometria oggi non hanno più l’interesse d’una volta, e dai matematici, occupati intorno al tronco ed alle radici dell’albero della scienza, si abbandonano alla coltura dei principianti; ma sovratutto perchè ampiamente già è ottenuto il nostro scopo di provare, che a quella costruzione e a quelle proprietà si può giungere brevemente e facilmente, col soccorso di una geometria molto più elementare di quella che siamo in dritto di attribuire ad Eudosso, e senza far alcun uso di metodi moderni. Verrò ora ad indicare in qual modo è credibile che se ne sia fatto uso per spiegare quei fenomeni dei pianeti, che si collegano coll’anomalia solare.
Ritorniamo per questo alla considerazione delle quattro sfere, che, secondo Aristotele e Simplicio, Eudosso attribuiva a ciascun pianeta; ed invece di lasciar fisso l’asse AB (fig. 3), immaginiamone appoggiati i poli sulla seconda delle sfere d’Eudosso, in modo che questi poli percorrano il circolo dell’eclittica in un tempo uguale alla rivoluzione zodiacale del pianeta. Supponiamo di più, che il circolo fondamentale AOB coincida costantemente col circolo dell’eclittica. Allora il punto O, che è il centro della nostra lemniscata sferica, si troverà sull’eclittica, e l’asse longitudinale della lemniscata (cioè il circolo massimo che ne unisce gli apsidi estremi) coinciderà pure con questo circolo; ed il punto 0, del pari che A e B, descriverà con moto uniforme in una rivoluzione zodiacale tutto il circolo dell’eclittica, trascinando seco la lemniscata. Noi potremo ora, senza turbale il movimento del pianeta, surrogare alla terza ed alla quarta sfera la lemniscata, sulla quale il pianeta si muove secondo le regole qui sopra
- ↑ Varj interessanti problemi offre la considerazione di questa curva, delle parti di superficie sferica, cilindrica, e conica in essa rinchiuse, dei volumi compresi fra quelle superficie e limitati dalla curva; problemi che tutti danno soluzioni semplici ed eleganti, e dimostrabili colla geometria elementare. Quando l’inclinazione è un angolo retto, la curva offre il caso del problema di Viviani della vôlta emisferica quadrabile, in cui ogni metà di uno dei lobi rappresenta una delle quattro finestre. Accennerò ancora alla proprietà che hanno gli archi di tutte queste lemniscate sferiche, di poter esser sommati, sottratti, moltiplicati e divisi con regole molto simili a quelle, che servono ad eseguire le medesime operazioni sugli archi ellittici; della quale l’espressione più notabile è questa, che la lunghezza di tutta intiera la lemniscata è uguale a quella di una ellisse, di cui un semiasse è uguale alla corda dell’inclinazione AQ, l’altro semiasse è uguale alla saetta o seno verso AS (fig. 3).
Queste lemniscate appartengono inoltre alla classe delle epicicloidi sferiche, e godono di tutte le loro proprietà. Infatti, sia AB (fig. 9) l’asse della prima sfera e QR il parallelo descritto dal polo P della seconda; sia diviso per metà l’arco QB in Z, e condotto il parallelo ZZ’. Poi da Q come polo si descriva il circolo minore ZU; e supponiamo, che stando fissa la callotta sferica ZBZ’, l’altra callotta uguale ZQU ruoti sulla medesima senza strisciare nel contatto comune Z. Se colla callotta mobile sia connesso invariabilmente un punto M tale, che si applichi costantemente sulla superficie sferica, e sia lontano da Q un quadrante; il punto M descriverà la lemniscata corrispondente all’inclinazione AQ.
