|
theoremata circa centrum gravitatis solidorum |
197 |
ordinatim applicatae. Dividatur itaque eb in tres partes aequales, quarum media sit qy; haec autem signo i ita dividatur, ut, quam rationem habet basis cuius diameter uc, ad basin cuius diameter lm, hoc est quam habet quadratum uc ad quadratum lm, eandem habeat qi ad iy. Demonstrandum est, i centrum gravitatis esse frusti lmc. Exponatur linea ns aequalis ipsi br, et sx aequalis 
sit cr; ipsarum autem ns, sx sumatur tertia proportionalis sg; et quam proportionem habet ng ad gs hanc habeat linea bq ad io. Nihil autem refert, si punctus o supra vel infra lm cadat. Et quia in sectione urc lineae lm, uc ordinatim sunt applicatae, erit ut quadratum uc ad quadratum lm, ita linea br ad re: est autem ut quadratum uc ad quadratum lm, ita qi ad iy et ut br ad re1, ita ns ad sx: ergo qi ad iy est ut ns ad sx. Quare ut qy ad yi, ita erit utraque ns, sx ad sx, et ut eb ad yi, ita composita ex tripla ns et tripla sx ad sx: est autem ut eb ad by, ita composita ex tripla utriusque simul ns, sx ad compositam ex ns, sx : ergo ut eb ad bi, ita composita ex tripla ns et tripla sx ad compositam ex ns et dupla sx. Sunt igitur tres lineae proportionales, ns, sx, gs; et quam proportionem habet sg ad gn, hanc habet quaedam sumpta oi ad duas tertias ipsius eb, hoc est ipsius nx; quam autem proportionem composita ex ns et dupla sx, ad compositam ex tripla ns et tripla sx, eandem habet alia quaedam sumpta ib ad be, hoc est ad nx. Per ea igitur, quae supra demonstrata sunt, erunt lineae illae simul sumptae tertia pars ipsius ns, hoc est ipsius rb ; est ergo rh tripla ipsius bo: quare o erit centrum gravitatis conoidis urc. Sit autem a centrum2 gravitatis conoidis lrm; frusti ergo ulmc centrum gravitatis est in linea ob, atque in eo puncto qui illam sic terminat, ut quam rationem3 habet ulmc frustum ad lrm portionem4, eam habeat linea ao ad eam quae inter o et dictum punctum intercedit. Et quia ro est duae tertiae ipsius rb, ra vero duae tertiae ipsius re ; erit reliqua ao duae tertiae reliquae eb. Et quia est, ut frustum ulmc ad portionem lrm5, ita ng ad gs ; ut autem ng ad gs, ita duae tertiae eb ad oi; duabus
- ↑ 16. ut rs ad — ut gy
- ↑ 28. autem centrum
- ↑ 30. quae rationem
- ↑ 31. frusti ad lrm proportionem
- ↑ 34. proportionem lrm
.jpg)
sit cr; ipsarum autem ns, sx sumatur tertia proportionalis sg; et quam proportionem habet ng ad gs hanc habeat linea bq ad io. Nihil autem refert, si punctus o supra vel infra lm cadat. Et quia in sectione urc lineae lm, uc ordinatim sunt applicatae, erit ut quadratum uc ad quadratum lm, ita linea br ad re: est autem ut quadratum uc ad quadratum lm, ita qi ad iy et ut br ad re1, ita ns ad sx: ergo qi ad iy est ut ns ad sx. Quare ut qy ad yi, ita erit utraque ns, sx ad sx, et ut eb ad yi, ita composita ex tripla ns et tripla sx ad sx: est autem ut eb ad by, ita composita ex tripla utriusque simul ns, sx ad compositam ex ns, sx : ergo ut eb ad bi, ita composita ex tripla ns et tripla sx ad compositam ex ns et dupla sx. Sunt igitur tres lineae proportionales, ns, sx, gs; et quam proportionem habet sg ad gn, hanc habet quaedam sumpta oi ad duas tertias ipsius eb, hoc est ipsius nx; quam autem proportionem composita ex ns et dupla sx, ad compositam ex tripla ns et tripla sx, eandem habet alia quaedam sumpta ib ad be, hoc est ad nx. Per ea igitur, quae supra demonstrata sunt, erunt lineae illae simul sumptae tertia pars ipsius ns, hoc est ipsius rb ; est ergo rh tripla ipsius bo: quare o erit centrum gravitatis conoidis urc. Sit autem a centrum2 gravitatis conoidis lrm; frusti ergo ulmc centrum gravitatis est in linea ob, atque in eo puncto qui illam sic terminat, ut quam rationem3 habet ulmc frustum ad lrm portionem4, eam habeat linea ao ad eam quae inter o et dictum punctum intercedit. Et quia ro est duae tertiae ipsius rb, ra vero duae tertiae ipsius re ; erit reliqua ao duae tertiae reliquae eb. Et quia est, ut frustum ulmc ad portionem lrm5, ita ng ad gs ; ut autem ng ad gs, ita duae tertiae eb ad oi; duabus
