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$BP=AB-AP=1-$ ½ ${\sqrt {2}}$ . Si ha poi, essendo retto l’angolo $BGE$ (31. lib. 3.), $BP:BG::BG:BE$ (8.4. lib. 6.); quindi (17. lib. 6.) $(GB)^{2}=BP.BE=2BP$ . Dunque $(BG)^{2}=2-$ ${\sqrt {2}}$ .

37. Lemma. Stanti le stesse cose del §. 36., sarà il quadrato della $GE$ corda di tre ottave parti della circonferenza, ossia $(GE)^{2}=2+$ ${\sqrt {3}}$ .

Dimostrazione. Poichè sarà $(BE)^{2}=(GE)^{2}+(BG)^{2}$ (47. lib. 1.). Ma $(BE)^{2}=4$ ; $(BG)^{2}=2-$ ${\sqrt {2}}$ (§. 36.). Dunque $4=(GE)^{2}+2-$ ${\sqrt {2}}$ , e togliendo 2, aggiungendo ${\sqrt {2}}$ , si avrà $2+$ ${\sqrt {2}}$ $=(GE)^{2}$ .

problema.

38. Essendosi già divisa la circonferenza in ventiquattro parti (§. 32.) eguali; suddividerla in quarantotto.

Soluzione. Si faccia ad $aN=Be=Ee$ (§. 11.) compasso 4°; ad $AB=e\mu =e\nu$ compasso 1°. Saranno $K\mu$ , $\mu N$ , $M\nu$ , $\nu O$ quarantottesime parti della circonferenza. (Fig. 11.)

Dimostrazione. Se si concepiscono guidate le rette $Aa$ , $Nn$ , $aN$ , $aB$ (§. 12.); essendo retto l’angolo $BAa$ (§. 27.); e l’angolo