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34. Gli antichi per via del centro $A$ col raggio $AB$, e col solo compasso divisero la circonferenza in sei parti eguali. Le altre divisioni le ottenevano col compasso e colla riga, prendendo varj punti fuori della circonferenza. Ora noi abbiamo trovato un punto a tale, che solo basta a dividere la circonferenza in ventiquattro parti eguali col solo compasso. Il che è nello stesso tempo più spedito e comodo, e porta ad una divisione pratica molto più accurata dell’antica.

35. Può sembrare elegante la serie delle aperture de’ tre compassi, che bastano a questa divisione. Poichè si trova l’apertura del primo = ${\sqrt {1}}$, del secondo = ${\sqrt {2}}$, del terzo = ${\sqrt {3}}$.

36. Lemma. Se nel cerchio $BGE$ sia il raggio $AB=1$; sia poi l’arco $BG$ un’ottava parte della circonferenza; sarà il quadrato della sua corda $BG$, ossia $(BG)^{2}=2-$${\sqrt {2}}$. (Fig. 10.)

Dimostrazione. Sul diametro $BE$ si cali la perpendicolare $GP$. Nel triangolo rettangolo $GPA$ a cagione dell’angolo semiretto $GAP$ sarà semiretto ancora $AGP$ (32. lib. 1.). Saranno dunque eguali i lati $GP$, $PA$ (6. lib. 1.). È poi $(AG)^{2}=(PG)^{2}+(AP)^{2}$ (47. lib. 1.). Dunque $(AG)^{2}=2(4P)^{2}$; quindi $2(AG)^{2}=4(AP)^{2}$, ossia $2=(2AP)^{2}$, e quindi ${\sqrt {2}}$$=2AP$; $AP=$½${\sqrt {2}}$;