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Dimostrazione. Essendo $BAE$ un diametro (15. lib. 4.); e avendo i triangoli $aAB$ , $aAE$ tutti i lati eguali, e però eguali gli angoli $aAB$ , $aAE$ (8. lib. 1.); questi saranno retti (13. lib. 1.). Dunque $(aB)^{2}=(AB)^{2}+(aA)^{2}$ (47. lib. 1.); e sottraendo $(AB)^{2}$ da tutte due le parti, si ha $(aB)^{2}-(AB)^{2}=(aA)^{2}$ . Si faccia per brevità $AB=1$ ; sarà $(aB)^{2}=(BD)^{2}=3$ (§. 2.). Sarà dunque $(aA)^{2}=3-1=2$ , e quindi anche $(BF)^{2}=(aA)^{2}=2=1+1=(AB)^{2}+(AF)^{2}$ . Dunque nel triangolo $FAB$ l’angolo FAB sarà retto (48. lib. 1.), e però anche l’angolo $FAE$ (13. lib. 1.). Saranno dunque gli archi $BF$ , $FE$ eguali tra loro, e quarti di cerchio, come pure gli archi $Bf$ , $fE$ .

28. Corollario. Essendo retti gli angoli $BAa$ , $BAF$ ; i tre punti $A$ , $F$ , $a$ saranno nella stessa retta.

29. Abbiamo dunque già la circonferenza divisa in due parti eguali per esempio nei punti $B$ , ed $E$ ; in tre parti, come ne’ punti $B$ , $D$ , $d$ (15. lib. 4.); in quattro parti ne’ punti $B$ , $F$ , $E$ , $f$ (§. 27.); in sei parti nei punti $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $d$ , $c$ . (15. lib. 4.).