Pagina:La Geometria del Compasso.djvu/30

11

$pQ:Ap::Ap:AS$, e $AS.pQ=(Ap)^{2}$ (17. lib. 6.).

23. Lemma. Se sia $AB=AC=BD$; e $AD=BC$; sarà $DC.AB=(AB)^{2}-(AD)^{2}$. (Fig. 5.)

Dimostrazione. I due triangoli $ADB$, $ACB$; avendo i lati rispettivamente eguali, saranno eguali (8. e 26. lib. 1.). Essendo poi posti tutti e due sulla stessa base $AB$; saranno fra le stesse parallele $DC$, $AB$ (39. lib. 1.). Se dunque sulla $BA$ si prende $BE=DC$; sarà $DE$ uguale, e parallela alla $BC$ (33. lib. 1.), e uguale ancora alla $DA$. Quindi i due triangoli isosceli $BDA$, $DAE$, che hanno un angolo comune in $A$, saranno simili (5. e 32. lib. 1., e 4. lib. 6.), e sarà $AB:AD::AD:AE$; quindi $AB.AE=(AD)^{2}$ (17. lib. 6.). Si ha poi $AB.AE+AB.BE=(AB)^{2}$ (2. lib. 2.). Quindi ad $AB.AE$ sostituendo $(AD)^{2}$, e a $BE$ sostituendo $DC$; si ha $(AD)^{2}+AB.DC=(AB)^{2}$. E sottraendo $(AD)^{2}$, si avrà $DC.AB=(AB)^{2}-(AD)^{2}$.

24. Lemma. Se nel cerchio $B\mu G$ al raggio $AB$ si alzi nel centro $A$ la normale $Ae$ eguale alla corda $BG$ dell’arco $B\mu G$; e fatto centro in $e$ col raggio $AB$ si descriva un arco, che tagli la circonferenza in $\mu$; sarà l’arco $B\mu$ eguale alla meta dell’arco $B\mu G$. (Fig. 6.)

Dimostrazione. Per l’eguaglianza de’ lati de’ due triangoli $ABG$, $A\mu e$ è l’angolo $GAB=A\mu e$ (8. lib. 1.). Si divida per meta l’an-