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Eucl.). Questo punto $D$ si è trovato col solo compasso senza la riga.

2. Può accadere che la posizione di un punto si trovi col solo compasso; ma per dimostrare la proposizione ci sia bisogno di costruire la figura col mezzo della riga.

Se per esempio, dati due punti $A$ e $B$, che sieno lontani d’un cerro intervallo, che si prende per l’unità, ossia si fa $=1$; si cerchi un punto $D$, che sia lontano da $B$ dell’intervallo $BD=$${\sqrt {3}}$; la soluzione del Problema sarà come segue.

Col centro $A$, raggio $AB$ si descriva il cerchio $BCD$. Collo stesso raggio, centro $B$ si descriva un arco, che tagli la circonferenza in $C$. Di nuovo collo stesso raggio, centro $C$ si descriva un arco, che tagli la circonferenza più oltre in $D$. Sarà questo il punto cercato, e trovato senza la riga.

Per dimostrare nondimeno, che sia l’intervallo $BD=$${\sqrt {3}}$, vi sarà d’uopo di linee rette, le quali si segnano colla riga. Sia $BE$ il diametro del cerchio $BCD$, e si guidino le rette $BD$, $DE$. Sarà il triangolo $BDE$ rettangolo in $D$ (31, lib. 3.). Sarà dunque il quadrato della $BE$ eguale alla somma de’ due quadrati delle rette $BD$, e $DE$ (47. lib. 1.); e però il quadrato della $BD$ sarà eguale alla differenza de’ quadrati della $BE$ e della $DE$. Ma essendo l’intervallo $BC=$