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Un vero razionalista preferirà sempre alla dimostrazione dell’Euclide la seguente:
Teorema.
Gli angoli alla base del triangolo isoscele sono uguali fra loro, e se prolungansi i lati uguali, gli angoli sotto la base saranno ancora uguali.
Infatti sia ABC il triangolo isoscele, di cui lato AB = AC; condotta dal vertice A la perpendicolare AD
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sulla base BC, siccome la somma degli angoli di un triangolo è uguale a quella degli angoli d’un altro triangolo, per ciò avremo: B + m + 90° = C + n + 90°; quindi B + m = C + n; ma per essere lato AB = lato AC, dessi declinano ugualmente dalla perpendicolare AD; dunque ang. m = ang. n. Dunque B = C; lo che dimostra la verità della prima parte del nostro teorema.
Per dimostrare la seconda parte, si prolunga arbitrariamente AB, per esempio, fino in F; e AC fino in G; e così avremo due coppie di angoli adiacenti; CBA, FBC; BCA, BCG; e siccome la somma di due angoli adiacenti è uguale
