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| 52 | introduzione |
prima ho prese tutte insieme per formare il numero 5, ora le aggiungo in quella mia immagine ad una ad una al numero 7, e vedo così nascere il numero 12. Che 5 si dovesse aggiungere a 7, l’avevo in verità pensato nel concetto di somma 7 + 5; ma non che questa somma fosse uguale a 121. La proposizione aritmetica è, dunque, sempre sintetica; ciò che si fa tanto più manifesto, quanto più alte sono le cifre che si prendono, perchè allora risplende chiaro che noi potremmo girare e rigirare i nostri concetti a piacer nostro, ma, senza ricorrere all’aiuto dell’intuizione, mediante la semplice analisi dei nostri concetti non potremmo trovar mai la somma.
Tanto meno è analitico un principio qualunque della geometria pura. Che la linea retta sia la più breve fra due punti, è una proposizione sintetica. Perchè il mio concetto di retta non contiene niente di quantità, ma solo una qualità. Il concetto della più breve è dunque interamente aggiunto, e non può essere ricavato con nessuna analisi da quello della linea retta. Qui deve perciò chiamarsi in aiuto l’intuizione, mediante la quale solamente è possibile la sintesi.
Alcune poche proposizioni fondamentali2 presupposte dai geometri sono, in verità, realmente analitiche e riposano sul principio di contraddizione; ma è anche vero che non servono, in quanto proposizioni identiche, se non alla catena del mondo, e non han valore di principii; tali sono per esempio a = a, il tutto è uguale a se stesso; oppure a + b > a, ossia il tutto è maggiore della parte. E pure anche queste stesse, sebbene valgano in base a semplici concetti, in matematica vengono ammesse solo perchè possono esser rappresentate per intuizione. Quel che in questo caso ci fa credere comunemente, che il predicato di tali giudizi apodittici si trovi già nel nostro concetto, e però il giudi-
