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$\left(1-(1-x){\frac {2}{3}}\right){\frac {3}{2}}$;non vi si aggiunge la costante, mentre le due variabili, y, x si annullano nel tempo stesso.

Assicurata vieppiù in questa maniera l'indole della curva, ecco quello ch'io penso circa il paradosso rimarcato dal Sig. d’Alembert. Egli integra la formola $dx\cdot (1-x)\cdot {\frac {2}{3}}$ dell’elemento dell'arco, poscia suppone $1-x=\pm z$, ed ha per qualunque caso di x maggiore, o minore dell’unità, l’espressione finita $s={\frac {2}{3}}-z{\frac {2}{3}}$, ciò che veramente è un assurdo. Ma non le sembra egli che la sostituzione di $\pm z$ invece di 1— x sia incompleta, ed affatto innopportuna, avuto riflesso al momento, in cui si verifica? Non le pare che si dovrebbe piuttosto far simile sostituzione prima di passare alla integrazione della formola proposta? Diffatti se ciò si facesse, in vece di $ds=dx\cdot (1-x)\cdot {\frac {2}{3}}$, si avrebbe $ds=\mp dx\cdot (\pm z)\cdot {\frac {2}{3}}$, e quindi $s=\mp {\frac {3}{2}}\cdot (\mp z){\frac {2}{3}}$ + costante = $\mp {\frac {3}{2}}\cdot z{\frac {2}{3}}$ + costante. Per determinare la costante osservo, che quando x è minore del unità si deve far uso del segno superiore, che quando s=0, è pur x=0, quindi z=1, e perciò costante $={\frac {3}{2}}$. L’integrale completo della proposta formola dovrebbe essere adunque ${\frac {3}{2}}\cdot (1\mp z{\frac {2}{3}})$: con questo si soddisfa pienamente a tutte le condizioni del problema, quando per altro si faccia un retto uso del segno $\mp$ prefisso alla quantità variabile.

L’analisi di cui si serve il Sig. Mascheroni lo

con-