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G. Fubini

Quindi: In una superficie isociclica dello spazio piano consideriamo un quadrangolo formato da due cerchi e da due traiettorie ortogonali al sistema dei cerchi. Calcoliamo i valori di $\sigma$ (angolo della normale alla superficie in un punto col piano del cerchio passante per il punto stesso) nei quattro vertici del quadrangolo; la somma dei valori che detto angolo riceve in due vertici opposti è uguale alla somma dei valori che riceve negli altri due vertici.

Ma un risultato ben più notevole si deduce dalle (α), (β).

Esse ci dimostrano che il binomio differenziale

$(D''-D)du-2D'dv$

ammette ${\frac {1}{\sqrt {E}}}$ come fattore integrante

ossia che

$D_{1}du+2D'_{1}dv={\frac {D''-D}{\lambda }}du-2{\frac {D'}{\lambda }}dv$

ammette ${\frac {\lambda }{\sqrt {E}}}$ (che è noto appena sia dato l’elemento lineare della rigata isoterma) come fattore integrante. Dunque:

“Sopra ogni superficie isociclica si trovano con sole quadrature le assintotiche della corrispondente rigata isoterma; sopra ogni rigata luogo delle binormali a una curva di torsione costante le assintotiche si determinano con quadrature„.

Quest’ultimo teorema ha una elegante spiegazione geometrica: si sa che su ogni rigata le assintotiche si determinano per mezzo di una equazione di Riccati; basta dunque conoscere un’assintotica, perchè le altre siano determinabili con quadrature.

Se noi confrontiamo la costruzione data dal Darboux (T. III, Cap. XIV) dell’immagine euclidea conforme di una superficie dello spazio curvo con la costruzione data dal Demartres per le superficie isocicliche, otteniamo il seguente teorema che permette appunto di costruire una e quindi tutte le assintotiche di una rigata isoterma con sole quadrature: