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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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La seconda forma fondamentale di $\Sigma '$ è, come si calcola subito,

$D_{1}du^{2}+2D'_{1}dudv+D''_{1}dv^{2}=-$

$=-{\frac {\lambda (Ddu^{2}+2D'dudv+D''dv^{2})+2E(xX+yY+zZ)(du^{2}+dv^{2})}{\lambda ^{2}}}.$

Ponendo per $Xx+Yy+Zz$ il valore che se ne ricava dalla¹ $\rho _{12}-D'W$ e ricordando che si può ammettere costante $\lambda -2\rho$ se ne deduce (ricordando le (1) e (3)):

$D_{1}du^{2}+2D'_{1}dudv+D''_{1}dv^{2}={\frac {D''-D}{\lambda }}du^{2}-2{\frac {D'}{\lambda }}dudv.$

E le $u=cost.$ riescono anche assintotiche, cioè appunto rette. Per trovare $\lambda$ senza quadrature, si usi delle formule di Codazzi e di Gauss per la $\Sigma '$; se ne avrà ${\frac {\lambda }{D'}}=cost.$, e le formule di Codazzi e di Gauss stesse si ridurranno alle:

α)	${\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {D'}{\sqrt {E}}}\right)=0$

β)	${\frac {\partial \log {\frac {D''-D}{\sqrt {E}}}}{\partial v}}=0$

γ)	$\left({\frac {D'}{\sqrt {E}}}\right)^{2}\left\{\left({\frac {D'}{\sqrt {E}}}\right)^{2}+{\frac {\partial ^{2}\log \left({\frac {D'}{\sqrt {E}}}\right)}{\partial v^{2}}}\right\}=cost.$

Le due prime di queste equazioni per le (2), (3), (5) sono conseguenza l’una dell’altra; se si riuscisse perciò a dimostrare direttamente una di queste due e la terza, si sarebbe dimostrato di nuovo, e in modo diretto, il nostro teorema.

La (α) dà per la (3)

${\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial u\partial v}}=0.$

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1. Bianchi. (Lezioni, Cap. IV, pag. 114).