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G. Fubini

normale principale alle $u=cost.$ e la normale alla superficie in un punto generico, sarà

${\frac {\cos \sigma }{\rho _{u}}}={\frac {D''}{E}}$, ${\frac {\operatorname {sen} \sigma }{\rho _{u}}}=-{\frac {1}{E}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial u}}$

che, per quanto s’è detto, danno derivate rispetto a $v$

1)	${\frac {D''}{E}}{\frac {\partial \sigma }{\partial v}}=-{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {1}{E}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial u}}\right)$

2)	${\frac {1}{E}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial u}}{\frac {\partial \sigma }{\partial v}}={\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {D''}{E}}\right)$

col che le proprietà supposte danno

3)	${\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {D''^{2}+\left({\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial u}}\right)^{2}}{D^{2}}}\right)=0$, ${\frac {D'}{E}}={\frac {1}{\sqrt {E}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial v}}$

mentre per le equazioni di Codazzi e di Gauss si ha:

4)	$DD''-D'^{2}=-{\frac {E}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\log E}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\log E}{\partial v^{2}}}\right)$

5)	${\frac {\partial D}{\partial v}}-{\frac {\partial D'}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \log E}{\partial v}}D-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \log E}{\partial v}}D''=0$

6)	${\frac {\partial D''}{\partial u}}-{\frac {\partial D'}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \log E}{\partial u}}D-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \log E}{\partial u}}D''=0.$

La superficie $\Sigma '$ immagine dello spazio curvo avrà per elemento lineare

$ds'^{2}={\frac {E}{\lambda ^{2}}}(du^{2}+dv^{2})$

dove $\lambda$ si determina osservando che le $u=cost.$ sono geodetiche, cosicchè

7)	${\frac {\partial \log \lambda }{\partial u}}={\frac {\partial \log {\sqrt {E}}}{\partial u}}.$