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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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punto $P$, in modo che le coordinate del punto $P$ siano $(\alpha ,0,0)$ Demartres dimostrò pure che, se $R$ è il raggio del cerchio stesso, il binomio $\alpha ^{2}-R^{2}$ è una costante. E allora tutto il resto della discussione di Demartres si può evitare con una semplicissima considerazione; consideriamo infatti la sfera $T$ di centro $P$ e raggio ${\sqrt {R^{2}-\alpha ^{2}}}$; poichè rispetto al triedro mobile l’equazione del cerchio, corrispondente è

$x^{2}+y^{2}=R^{2}$, $z=0$

si verifica subito che questo cerchio taglia la nostra sfera in punti diametralmente opposti. Ora se noi rappresentiamo in modo conforme uno spazio a curvatura costante sullo spazio piano in modo che la sfera $T$ rappresenti l’assoluto, i cerchi in discorso corrisponderanno a rette dello spazio curvo; e la nostra superficie cerchiata avrà per immagine nello spazio curvo una rigata, per cui le rette formano una famiglia isoterma; che è quanto si voleva dimostrare. Chiameremo con Demartres tali superficie, superficie isocicliche; avremo allora:

“Il problema di costruire le superficie isocicliche degli spazii a curvatura costante (o in particolare dello spazio piano) coincide col problema di determinare tutte le curve a torsione costante di uno spazio a curvatura costante„.

E allora ci restano da risolvere due questioni: l’una di trovare le formule effettive che permettano di passare da un problema all’altro; l’altra di interpretare questo teor. applicato allo spazio piano con la sola metrica euclidea; ciò che naturalmente è la cosa più interessante.

Sia dunque la superficie isociclica $\Sigma$ dello spazio piano definita dalle due forme

$ds^{2}=E(du^{2}+dv^{2})$, $Ddu^{2}+2D'dudv+D''dv^{2}$

e siano le $u=cost.$ i cerchi costituenti la solita famiglia isoterma. Sarà la curvatura assoluta ${\frac {1}{\rho _{u}}}$ delle $u=cost$, funzione della sola $u$; la torsione delle $u=cost.$ sempre nulla. E detto $\sigma$ l’angolo tra la