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G. Fubini

Conducendo le parallele nel primo verso, otterremo con le formule usuali, che le immagini di Clifford dei raggi per $P$, $P'$, $P''$ avranno per coordinate rispettivamente:

$(-1,0,0,0)\,$ $(-1-dx_{2}d\xi _{3}+dx_{3}d\xi _{2},-dx_{3}-d\xi _{2},0)$

$-1-\delta x_{2}\delta \xi _{3}+\delta x_{3}\delta \xi _{2},-\delta x_{2}+\delta \xi _{3},-\delta x_{3}-\delta \xi _{2},0)$

quando si prende il punto $(0,0,0,1)$ come punto da cui si tirano le parallele. A meno d’infinitesimi trascurabili queste tre immagini hanno dunque per coordinate

$(-1,0,0,0)$

$(-1,-dx_{2}+d\xi _{3},-dx_{3}-d\xi _{2},0)$

$(-1,-\delta x_{2}+\delta \xi _{3},-\delta x_{3}-\delta \xi _{2},0)$

e l’area $d\omega ''$ del triangolo da essi racchiuso è data da

$36d\omega ''^{2}={\begin{Vmatrix}-1&0&0&0\\-1&-dx_{2}+d\xi _{3}&-dx_{3}-d\xi _{2}&0\\-1&-\delta x_{2}+\delta \xi _{3}&-\delta x_{3}-\delta \xi _{2}&0\end{Vmatrix}}^{2}$

cioè da

$6d\omega ''=\pm \left\{{\begin{vmatrix}d\xi _{3}&dx_{3}\\\delta \xi _{3}&\delta x_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}d\xi _{2}&dx_{2}\\\delta \xi _{2}&\delta x_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}d\xi _{3}&d\xi _{3}\\\delta \xi _{3}&\delta \xi _{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}dx_{3}&dx_{3}\\\delta x_{3}&\delta x_{2}\end{vmatrix}}\right\}$

È facile verificare che, con (opportuna scelta dei segni)

$6d\omega ={\begin{vmatrix}dx_{3}&dx_{2}\\\delta x_{3}&\delta x_{2}\end{vmatrix}}$

e che

$6d\omega '={\begin{vmatrix}d\xi _{3}&d\xi _{2}\\\delta \xi _{3}&\delta \xi _{2}\end{vmatrix}}.$

Calcoliamo dunque la somma

${\begin{vmatrix}d\xi _{3}&dx_{3}\\\delta \xi _{3}&\delta x_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}d\xi _{2}&dx_{2}\\\delta \xi _{2}&\delta x_{2}\end{vmatrix}}.$