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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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congruenza che escono dai punti $C$ di $d\omega$ si segni il punto $D$ coniugato rispetto all’assoluto del punto $C$; le rette che uniscono il punto $P$ a questi punti $D$ determinano su una sfera di raggio infinitesimo $r$ di centro $P$ un’area infinitesima $r^{2}d\omega '$; il rapporto ${\frac {d\omega '}{d\omega }}$ è ciò che il Fibbi chiamava “densità„ della congruenza nel punto $P$. Noi introdurremo qui a lato della “densità„ definita a modo del Fibbi un nuovo elemento, che chiameremo “densità di Clifford„ di una congruenza, che forse è più adatto all’intima natura dello spazio ellittico, e che in ogni modo ci porterà a uno dei teoremi più importanti del presente lavoro. Tiriamo per un punto $A$ dallo spazio ellittico le parallele, al modo di Clifford, alle rette della congruenza uscenti dai punti di $d\omega$; esse determineranno sul piano polare $A$ un elemento infinitesimo $d\omega ''$; il rapporto ${\frac {d\omega ''}{d\omega }}$ (che avrà naturalmente due determinazioni) misurerà per noi la “densità di Clifford„ (destrorsa o sinistrorsa) della congruenza nel punto $P$; la media aritmetica di queste due densità misurerà ciò che noi chiameremo la densità assoluta di Clifford della congruenza nel punto $P$. Procediamo al calcolo effettivo, osservando che senza scemare la generalità potremo supporre che il punto $P$ sia il punto $(1,0,0,0)$ e il piano $\pi$ normale in $P$ al raggio della congruenza passante per $P$ siano il piano $(0,0,0,1)$. Prendiamo su $d\omega$ due punti $P'$, $P''$ infinitamente vicini a $P$ e consideriamo i piani $\pi '$, $\pi ''$ normali in $P'$, $P''$ ai raggi corrispondenti della congruenza. Ricordando le relazioni che legano le coordinate di un punto, di un piano, e la condizione affinchè un punto e un piano si appartengano, si vedrà che a meno d’infinitesimi d’ordine superiore si potrà porre:

$P'=(1,dx_{2},dx_{3},0)$

$P''=(1,\delta x_{2},\delta x_{3},0)$

$\pi '=(0,d\xi _{2},d\xi _{3},1)$

$\pi ''=(0,\delta \xi _{2},\delta \xi _{3},1)$

dove $d$, $\delta$ siano simboli di differenziali.