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G. Fubini

minori di terz’ordine appartenenti alla matrice formata dalle tre prime colonne per i minori complementari. Se noi indichiamo con $edu^{2}+2fdudv+gdv^{2}$ e con $e'du^{2}+2f'dudv+g'dv^{2}$ gli elementi lineari delle due immagini piane, e poniamo $\Delta ={\sqrt {eg-f^{2}}}$, $\Delta '={\sqrt {e'g'-f'^{2}}}$ (supposti non nulli) facilmente troviamo i valori dei suddetti determinanti del terz’ordine.

Si avrà p. es.

${\begin{vmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\{\frac {\partial \alpha }{\partial u}}&\cdots &\cdots \\{\frac {\partial \alpha }{\partial v}}&\cdots &\cdots \end{vmatrix}}=\Delta \,$ ${\begin{vmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\{\frac {\partial \alpha }{\partial v}}&\cdots &\cdots \\{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial u^{2}}}&\cdots &\cdots \end{vmatrix}}=-{\begin{Bmatrix}11\\1\end{Bmatrix}}\Delta \,$ ecc. ecc.

Indichiamo con $A$ il determinante

${\begin{vmatrix}{\begin{Bmatrix}11\\1\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}&e\\{\begin{Bmatrix}12\\1\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}&f\\{\begin{Bmatrix}22\\1\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}22\\2\end{Bmatrix}}&g\end{vmatrix}}$

e con $(-A)$ quello che se ne ottiene mutando i segni dell’ultima colonna; e analogamente poniamo $A'$ e $(-A')$ uguali ai corrispondenti determinanti per il secondo elemento lineare. Si vede allora subito che la condizione affinchè la nostra congruenza sia $W$ si ottiene ponendo uguali la espressione ottenuta aggiungendo ad $A$ la somma dei termini di $(-A)$ moltiplicati rispettivamente per i minori complementari dei termini corrispondenti di $A'$ e l’espressione che si deduce da questa scambiando $e$ ed $e'$, $f$ ed $f'$, $g$ e $g'$.

Vogliamo ora esporre un’altra applicazione dei nostri principii alla teoria delle congruenze, e precisamente al concetto della “densità„ di una congruenza in un punto. Per definire questa densità in un punto $P$ il Fibbi procedeva nel modo seguente.

Si segni sul piano $\pi$ normale in $P$ al raggio corrispondente della nostra congruenza un intorno $d\omega$ infinitesimo di $P$, e sulle rette della