Pagina:Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici.djvu/39

Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

33

§. 12. Ritorniamo allo spazio curvo e risolviamo la questione di riconoscere se una congruenza è $W$, appena ne siano date le forme fondamentali, o ciò che è lo stesso, gli elementi lineari delle sue immagini piane di Clifford. Perciò basta che noi ricordiamo che una retta è definita dai suoi parametri di scorrimento, che, come sappiamo non sono altro che coordinate proiettive di retta; ora (Darboux Leçons, T. 3.° pag. 345) le coordinate di una retta che descriva una congruenza $W$ sono soluzioni di una medesima equazione a derivate parziali del secondo ordine; cosicchè, se $(\alpha ,\beta ,\gamma ;\alpha _{1},\beta ,\gamma )$, sono i parametri di scorrimento di una retta generica della congruenza, dovrà essere

$O={\begin{vmatrix}\alpha &\beta &\gamma &\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\{\frac {\partial \alpha }{\partial u}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &{\frac {\partial \gamma _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \alpha }{\partial v}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &{\frac {\partial \gamma _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial u^{2}}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &{\frac {\partial ^{2}\gamma _{1}}{\partial u^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial u\partial v}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &{\frac {\partial ^{2}\gamma _{1}}{\partial u\partial v}}\\{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial v^{2}}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &{\frac {\partial ^{2}\gamma _{1}}{\partial ^{2}v^{2}}}\end{vmatrix}}$

Osserviamo ora che $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1$ e che $d\alpha ^{2}+d\beta ^{2}+d\gamma ^{2}$ è noto, perchè è l’elemento lineare di una delle immagini piane di una congruenza.

Possiamo dunque concepire $\alpha ,\beta ,\gamma$ come coordinate di un punto variabile su di una sfera euclidea, per cui sia noto l’elemento lineare in funzione di $u,v$; si potranno quindi esprimere le derivate seconde delle $\alpha ,\beta ,\gamma$ in funzione delle loro derivate prime, delle $\alpha ,\beta ,\gamma$ stesse e dei coefficienti di questo elemento lineare; e analogamente per $\alpha ',\beta ',\gamma '$. Sostituiti nel determinante precedente questi valori per le derivate seconde di $(\alpha ,\beta ,\gamma ;\alpha ',\beta ',\gamma ')$ si sviluppi il determinante stesso, facendo la somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando i

3