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G. Fubini

mentre l’equazione di Guichard sottratta dalla precedente diventa

δ)

${\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u\partial v}}={\begin{Bmatrix}12\\1\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}22\\1\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}-{\frac {\partial {\begin{Bmatrix}12\\1\end{Bmatrix}}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}}{\partial v}}-F.$

Quest’ultima dà un risultato della forma $\tau =M(u,v)+\int \varphi (u)du+$ $+\int \psi (v)dv$ dove $M$ è noto, $\varphi$ e $\psi$ sono da determinarsi. Sostituendo nella precedente equazione si ha $\psi (v)$ in funzione di $\varphi (u)$; derivando rispetto $(u)$ si ottiene per $\varphi (u)$ un’equazione della forma

$A\varphi ^{2}+B\varphi +C+D\varphi '=0$ con $A,B,C$ note.

Quest’equazione ripetutamente derivata rispetto $v$ dà il mezzo di determinare $\varphi$, e quindi $\tau$ e la congruenza. Senza entrare in facili discussioni minute si osservi ancora che supposto $F=0$ le equazioni precedenti divengono

${\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u\partial v}}={\frac {\partial ^{2}\log {\sqrt {EG}}}{\partial u\partial v}};\,{\frac {\partial \tau }{\partial u}}{\frac {\partial \tau }{\partial v}}+{\frac {\partial \log {\sqrt {E}}}{\partial v}}{\frac {\partial \tau }{\partial u}}+{\frac {\partial \log {\sqrt {G}}}{\partial u}}{\frac {\partial \tau }{\partial v}}=0.$

Mutando i parametri delle $u=cost.$, $v=cost.$ si può fare che $\rho ={\frac {1}{\sqrt {EG}}}$ soddisfi ad ambedue; posto così

$\tau =-\log {\sqrt {EG}}+\int \varphi (u)du+\int \psi (v)dv$

si ha

$\varphi \psi =\varphi {\frac {\partial \log {\sqrt {G}}}{\partial v}}+\psi {\frac {\partial \log {\sqrt {E}}}{\partial u}}+{\frac {\partial (\log {\sqrt {E}},\log {\sqrt {G}})}{\partial (u,v)}}=0$

e poichè $\varphi =\psi =0$ è una soluzione, $E$ è funzione di $G$. Ecco qui il teorema di Weingarten per le superficie $W$. Ma qui osserviamo che se è risolubile l’equazione

$1={\frac {1}{\varphi (u)}}{\frac {\partial \log {\sqrt {G}}}{\partial u}}+{\frac {1}{\psi (v)}}{\frac {\partial \log {\sqrt {E}}}{\partial v}}$

ciò che avviene p. es. per $E=1$, $G=\operatorname {sen} ^{2}u$ si ottengono dall’elemento lineare stesso altre congruenze $W$.