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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Le traccie sul piano rappresentativo delle rette della congruenza si ottengono (§. 4) dimezzando i segmenti unenti punti corrispondenti delle due immagini piane; che, se indichiamo al solito con $(Y_{1}Y_{2}Y_{3}O)$ e $(Z_{1}Z_{2}Z_{3}O)$ punti corrispondenti di tali immagini e con $\varphi$ la loro distanza, l’elemento lineare del piano riferito a tali traccie sarà

$\sum \left[d\left({\frac {Y_{i}+Z_{i}}{\sqrt {2(1+\cos \varphi )}}}\right)\right]^{2}=\sum \left({\frac {dY_{i}+dZ_{i}}{2\cos {\frac {\varphi }{2}}}}+{\frac {Y_{i}+Z_{i}}{4}}{\frac {\operatorname {sen} {\frac {\varphi }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}d\varphi \right)^{2}.$

Esso sarà subito noto quando oltre gli elementi lineari delle immagini piane si conoscano $\varphi$ e le derivate di $\varphi$ rispetto $u,v,u',v'$ dove si immaginino le $(u,v)$ le coordinate definenti $(Y_{i})$, le $(u',v')$ quelle definenti $(Z_{i})$ e tutte e quattro si immaginino in questa derivazione distinte. Infatti

${\frac {\partial \cos \varphi }{\partial u}}=\sum Z{\frac {\partial Y}{\partial u}};{\frac {\partial \cos \varphi }{\partial u'}}=\sum Y{\frac {\partial Z}{\partial u'}}ecc.$

$2\sum dYdZ=d^{2}\sum YZ-\sum (Yd^{2}Z+Zd^{2}Y).$

Questa ultima equazione si riduce subito appena si ricordino le formule che danno $d^{2}Z$, $d^{2}Y$ per $Y$, $Z$ e per i loro differenziali primi.

Può forse interessare l’osservazione che basta conoscere l’elemento lineare del piano riferito a tali traccie (quando le $u=cost.$ $v=cost.$ siano le sviluppabili) se la congruenza è $W$. Infatti con una rappresentazione geodetica sullo spazio euclideo si faccia corrispondere il piano rappresentativo al piano all’infinito. Tale elemento lineare diverrà l’elemento lineare della sfera euclidea riferito alle immagini sferiche delle sviluppabili. Usando delle notazioni del prof. Bianchi (Lezioni, ecc. Cap. 10, §§. 149, 150) dovrà essere

$D_{1}:{D''}_{1}=D_{2}:{D''}_{2}$ cioè posto $\rho =e^{\tau }$

γ)

${\frac {\partial \tau }{\partial u}}{\frac {\partial \tau }{\partial v}}+{\begin{Bmatrix}12\\1\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \tau }{\partial u}}+{\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \tau }{\partial v}}+{\begin{Bmatrix}12\\1\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}22\\1\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}=0$