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30 G. Fubini

è, come già riconobbe direttamente il Fibbi, l’equazione delle sviluppabili della congruenza. La parte di segno costante nella formula precedente è, con le notazioni del Fibbi,

α)

La parte di segno variabile è, a meno del fattore uguale a

β)

La (α) e la (β) sono due forme quadratiche affatto indipendenti dalla superficie scelta come iniziale.


§§. 11. Teor. Le uniche equazioni cui debbono soddisfare le forme (α) e (β) affinchè le forme del Fibbi (già legate da facili equazioni algebriche notate dal Fibbi stesso) corrispondano realmente a una congruenza sono che la loro somma e la loro differenza siano forme a curvatura . (Si ricordi il fattore numerico che moltiplica le β).

Questo teorema, che permette di generalizzare alle congruenze le equazioni di Gauss e di Codazzi si deduce ricordando che di una retta e quindi anche di rette ossia di una congruenza si possono dare ad arbitrio le immagini piane; ciò che definisce poi la congruenza.

Il determinare i punti di un piano dello spazio curvo (o della sfera euclidea) di cui sia dato l’elemento lineare si riduce all’integrazione di un’equazione di Riccati. Dunque:

Date le forme (α), (β) di una congruenza oppure le forme del Fibbi che soddisfacciano alle predette condizioni, l’integrazione di due equazioni di Riccati basta alla determinazione effettiva della congruenza.