 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| 30 | G. Fubini |
è, come già riconobbe direttamente il Fibbi, l’equazione delle sviluppabili della congruenza. La parte di segno costante nella formula precedente è, con le notazioni del Fibbi,
| α) |
La parte di segno variabile è, a meno del fattore uguale a
| β) |
La (α) e la (β) sono due forme quadratiche affatto indipendenti dalla superficie scelta come iniziale.
§§. 11. Teor. Le uniche equazioni cui debbono soddisfare le forme (α) e (β) affinchè le forme del Fibbi (già legate da facili equazioni algebriche notate dal Fibbi stesso) corrispondano realmente a una congruenza sono che la loro somma e la loro differenza siano forme a curvatura . (Si ricordi il fattore numerico che moltiplica le β).
Questo teorema, che permette di generalizzare alle congruenze le equazioni di Gauss e di Codazzi si deduce ricordando che di una retta e quindi anche di rette ossia di una congruenza si possono dare ad arbitrio le immagini piane; ciò che definisce poi la congruenza.
Il determinare i punti di un piano dello spazio curvo (o della sfera euclidea) di cui sia dato l’elemento lineare si riduce all’integrazione di un’equazione di Riccati. Dunque:
Date le forme (α), (β) di una congruenza oppure le forme del Fibbi che soddisfacciano alle predette condizioni, l’integrazione di due equazioni di Riccati basta alla determinazione effettiva della congruenza.
