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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Partendo dalle solite osservazioni del §. 3, usando delle (14) e ricordando che ${\frac {1}{T}}$ ammette due determinazioni, si vede che basta annullare i termini con doppio segno della precedente espressione per trovare la condizione voluta; e calcolando si ottiene così: $\varphi =\int {\frac {d\sigma }{\tau }}.$

Il risultato più notevole e di cui vedremo in seguito alcune applicazioni è dato dalla seguente proposizione:

A ogni curva $C$ dello spazio ellittico corrispondono due curve $C'$, $C''$ dello spazio piano che corrispondono alla $C$ (e quindi anche tra di loro) punto per punto con uguaglianza d’arco e di prima curvatura, e le cui torsioni in punti corrispondenti differiscono di una costante. Viceversa, due curve $C'$, $C''$ dello spazio piano che si corrispondono punto a punto con uguaglianza d’arco e di prima curvatura, mentre le loro torsioni in punti corrispondenti differiscono di una costante $\pm 2$, danno senza quadrature una curva $C$ di uno spazio ellittico a curvatura $+1$ che loro corrisponde punto a punto con uguaglianza di arco e di prima curvatura e che ha per torsioni di Clifford in un punto le torsioni di $C'$ e di $C''$ nei punti corrispondenti.

La prima parte di questo teorema è evidente per le (14); dimostriamo la seconda parte. Se noi chiamiamo $(\alpha ,\beta ,\gamma )$, $(\xi ,\eta ,\zeta )$, $(\lambda ,\mu ,\nu )$ i coseni di direzione della tangente, della normale principale e della binormale in un punto di $C'$ e con $(\alpha ',\beta ',\gamma ')$, $(\xi ',\eta ',\zeta ')$, $(\lambda ',\mu ',\nu ')$ i coseni delle rette corrispondenti di $C''$, se noi indichiamo con $s$, ${\frac {1}{\rho }}$ l’arco e la curvatura di $C'$ e $C''$ (in punti corrispondenti) e con ${\frac {1}{T}}$ e ${\frac {1}{T'}}$ le corrispondenti torsioni, avremo per le formule di Frenet nello spazio piano

α)

$\left\lbrace {\begin{array}{l}{\frac {d\alpha }{ds}}={\frac {\xi }{\rho }};\,{\frac {d\xi }{ds}}={\frac {\alpha }{\rho }}-{\frac {\lambda }{T}};\,{\frac {d\lambda }{ds}}={\frac {\xi }{T}}\,ecc.\\{\frac {d\alpha '}{ds}}={\frac {\xi '}{\rho }};\,{\frac {d\xi '}{ds}}={\frac {\alpha '}{\rho }}-{\frac {\lambda '}{T'}};\,{\frac {d\lambda '}{ds}}={\frac {\xi '}{T'}}\,ecc.\\\end{array}}\right.$