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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici 25


Partendo dalle solite osservazioni del §. 3, usando delle (14) e ricordando che ammette due determinazioni, si vede che basta annullare i termini con doppio segno della precedente espressione per trovare la condizione voluta; e calcolando si ottiene così:

Il risultato più notevole e di cui vedremo in seguito alcune applicazioni è dato dalla seguente proposizione:

A ogni curva dello spazio ellittico corrispondono due curve , dello spazio piano che corrispondono alla (e quindi anche tra di loro) punto per punto con uguaglianza d’arco e di prima curvatura, e le cui torsioni in punti corrispondenti differiscono di una costante. Viceversa, due curve , dello spazio piano che si corrispondono punto a punto con uguaglianza d’arco e di prima curvatura, mentre le loro torsioni in punti corrispondenti differiscono di una costante , danno senza quadrature una curva di uno spazio ellittico a curvatura che loro corrisponde punto a punto con uguaglianza di arco e di prima curvatura e che ha per torsioni di Clifford in un punto le torsioni di e di nei punti corrispondenti.

La prima parte di questo teorema è evidente per le (14); dimostriamo la seconda parte. Se noi chiamiamo , , i coseni di direzione della tangente, della normale principale e della binormale in un punto di e con , , i coseni delle rette corrispondenti di , se noi indichiamo con , l’arco e la curvatura di e (in punti corrispondenti) e con e le corrispondenti torsioni, avremo per le formule di Frenet nello spazio piano

α)