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G. Fubini

Poichè l’integrazione di ciascuno dei due gruppi (14) di formule, si riduce a un’equazione di Riccati, otteniamo:

“La effettiva costruzione di una curva di cui siano nate la curvatura e la torsione in funzione dell’arco si riduce all’integrazione di due equazioni di Riccati„.

Così se due curve si corrispondono punto a punto con parallelismo in un verso del triedro principale e per cui siano $(\rho ,T,\sigma )$ e $(\rho _{1},T_{1},\sigma _{1})$ la prima curvatura, la torsione di Clifford corrispondente e l’arco in punti corrispondenti, si ha

${\frac {\rho }{\rho _{1}}}={\frac {T}{T_{1}}}={\frac {d\sigma }{d\sigma _{1}}};$

ciò che permette (come già osservò il prof. Bianchi per lo spazio piano) di ridurre la costruzione di una curva di cui siano date le equazioni intrinseche a quella di una curva per cui sia $\rho =cost.$ oppure $T=cost.$

L’analogia delle (14) con le formule di Frenet dà immediatamente alcuni teoremi, per la cui dimostrazione basta ripetere parola per parola quanto si fa per dimostrare gli analoghi nello spazio piano. Così p. es.

Se due curve hanno parallele le normali principali in punti corrispondenti, è costante l’angolo di tangenti corrispondenti e le curvature dell’una sono funzioni lineari di quelle dell’altra (ciò che può servire per lo studio delle curve di Bertrand nello spazio curvo).

Così si può dedurre in altro modo da quanto si è fatto sopra tutta la teoria delle eliche, ecc. ecc. Quanto m’importa d’osservare, è che spesso i calcoli riescono più semplici nello spazio curvo, che nello spazio piano. Se noi p. es. volessimo trovare le evolute di una curva, basterebbe che noi cercassimo quando la rigata generata da una normale alla curva con coseni di direzione $(\xi _{i}\cos \varphi +\lambda _{i}\operatorname {sen} \varphi$ dove $\varphi$ è funzione di $\sigma$) genera una sviluppabile, cioè quando le due immagini di Clifford della rigata si corrispondono con uguaglianza d’arco “$s$„. Ora è

$ds^{2}=\sum {[d\xi \cos \varphi +d\lambda \operatorname {sen} \varphi -\xi \operatorname {sen} \varphi d\varphi +\lambda \cos \varphi d\varphi ,x]_{i}}^{2}.$