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G. Fubini

Basta infatti esprimere (§. 6) che le immagini di Clifford della rigata generata da questa retta si corrispondono con uguaglianza di lunghezza d’arco per trovare, con le notazioni precedenti

${\frac {b^{2}+c^{2}}{\tau }}+{\frac {ac}{\rho }}=0.$

§.8. Queste considerazioni preliminari ci suggeriscono immediatamente un’idea, che ci servirà a stabilire una nuova forma assai notevole, a mio parere, delle formule del prof. Bianchi già citate. A queste formule il prof. Bianchi giunse esaminando i coseni di direzione della tangente, della normale principale, della binormale. Noi esamineremo invece i parametri di scorrimento delle stesse, che indicheremo rispettivamente con

$(\alpha ,\beta ,\gamma ;\alpha ',\beta ',\gamma ');\,(\xi ,\eta ,\zeta ;\xi ',\eta ',\zeta ');\,(\lambda ,\mu ,\nu ;\lambda ',\mu ',\nu ').$

Per quanto s’è visto è

13)

\left\lbrace {\begin{array}{l}\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=.....=1\\\alpha \xi +\beta \eta +\gamma \zeta =\alpha '\xi '+\beta '\eta '+\gamma '\zeta '=\xi \lambda +\eta \mu +\zeta \nu =.....=0\\d\alpha ^{2}+d\beta ^{2}+d\gamma ^{2}={\frac {d\sigma ^{2}}{\rho ^{2}}}=d\alpha '^{2}+d\beta '^{2}+d\gamma '^{2}\\d\lambda ^{2}+d\mu ^{2}+d\nu ^{2}=d\sigma ^{2}{\frac {1}{T^{2}}}\\d\lambda '^{2}+d\mu '^{2}+d\nu '^{2}={\frac {1}{T'^{2}}}d\sigma ^{2};\,\lambda d\alpha +\mu d\beta +\nu d\gamma =\lambda 'd\alpha '+.....=0.\end{array}}\right.

Queste formule basterebbero col procedimento identico a quello che si segue per le formule di Frenet nello spazio piano a dare le seguenti formule:

14)

\left\lbrace {\begin{array}{l}{\frac {d\alpha }{d\sigma }}={\frac {\xi }{\rho }};\,{\frac {d\xi }{d\sigma }}=-{\frac {\alpha }{\rho }}-{\frac {\lambda }{T}};\,{\frac {d\lambda }{d\sigma }}={\frac {\xi }{T}}\\{\frac {d\alpha '}{d\sigma }}={\frac {\xi '}{\rho }};\,{\frac {d\xi '}{d\sigma }}=-{\frac {\alpha '}{\rho }}-{\frac {\lambda '}{T'}};\,{\frac {d\lambda '}{d\sigma }}={\frac {\xi '}{T'}}\end{array}}\right.