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(5) V. Helmholtz: Die Thatsachen in der Wahrnemhung, Berlin 1879, pag. 55 e seg. — Poincaré: a) La science et l’hypothèse, pag. 68 e seg. b) La valeur de la science, ad es. pag. 127 e seg., Paris, 1905.
(6) Con questa definizione dello spazio geometrico cade pure l’affermazione dell’Helmholtz, che le forme geometriche a più dimensioni possono esser svolte sicuramente soltanto coll’analisi.
(7) Il concetto di eguaglianza delle figure, come quello di due cose qualsiasi, deriva dal concetto logico di eguaglianza, e postulata nella geometria l’esistenza di segmenti eguali, si può dare una definizione generale dell’eguaglianza delle figure, che comprende pure le figure simmetriche nello spazio.
Era invero strano che non fossero riconosciuti eguali due triedri opposti al vertice, che, in sè considerati, corrispondono perfettamente al criterio logico dell’eguaglianza, solo per il fatto che non si possono sovrapporre movendosi nello spazio, mentre possono geometricamente essere sovrapposti con un movimento attraverso lo spazio a quattro dimensioni, come due triangoli simmetrici del piano (che pur si riconoscevano eguali) non possono sovrapporsi che con un movimento attraverso lo spazio ordinario. Avevo poi anche notato, che, addottando il principio del movimento senza deformazione o dei corpi rigidi, per definire l’eguaglianza si cade in una petizione di principio, perchè non si può definire quel movimento senza il concetto di eguaglianza oltre che di altri concetti geometrici complicati.
Anche il Poincaré (l. c., a) pag. 60) nota come la definizione dell’eguaglianza delle figure colla sovrapposizione contiene un circolo vizioso, e che la possibilità del movimento di una figura invariabile non è una verità evidente per sè stessa, o almeno non lo è che allo stesso modo del postulato di Euclide. Anzi, come ho osservato nella nota 3, la verifica empirica di questo postulato si può far dipendere dal movimento di una figura invariabile.
Ma per la distinzione che noi facciamo di spazio geometrico da spazio fisico e quindi tra la geometria pura, per la quale il suddetto principio non è necessario, e le sue pratiche applicazioni, non siamo d’accordo coll’eminente matematico francese, quando egli sostiene
