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dal pensiero possiamo supporla come già un tutto dato al pensiero stesso, ci dà, da un lato i numeri transfiniti di G. Cantor, dall’altro, gli infiniti e infinitesimi attuali. Il Poincaré sostiene che la regola aritmetica del ragionamento per ricorrenza, o, comunemente detto, dell’induzione completa, non è dimostrabile, e che, non potendo questa regola essere data dall’esperienza, essa è un giudizio sintetico a priori. Ma nei miei Fondamenti (pag. 18 - anzichè «dall’elemento di δ fuori di δ») nell’ultima riga del ragionamento bisogna dire «dalla prima forma di δ fuori di δ'») parmi di avere dimostrata la regola suddetta, facendo uso del concetto di successione illimitata di 1a specie; quindi anche questa regola, che, secondo il Poincaré, sarebbe un giudizio sintetico a priori, si riduce al concetto di successione illimitata di 1a specie. Così la questione filosofica è resa più semplice, bastando dimostrare l’origine sperimentale del concetto di illimitato. Tuttavia, se la matematica pura non può rimanere indifferente dinanzi al puro empirismo, che confinerebbe necessariamente il pensiero matematico nella sola successione limitata, può però non occuparsi delle altre ipotesi filosofiche, che ad essa concedono quanto è sufficiente al suo svolgimento. Non è così invece della geometria e della meccanica, che hanno necessariamente un’origine sperimentale, sebbene se ne rendano indipendenti nelle loro costruzioni, e tanto meno delle applicazioni della matematica nello studio dei fenomeni naturali (Vedi nota 12).
(4) Ho dato il postulato delle parallele indipendentemente dal piano per dimostrare di questo le proprietà fondamentali, evitando così la lacuna notata dal Gauss e uniformandone la trattazione a quella degli spazi a tre e a più dimensioni (A. l. c. ed Elementi di Geometria, Drucker, IIIa ed., 1905). La mia definizione delle parallele soddisfa alla condizione di esser verificata con grande approssimazione nel campo delle nostre osservazioni, ma il postulato si fonda praticamente sulla verifica dei segmenti eguali mediante il trasporto della riga o del compasso. Ora, una tale verifica non è che approssimativa; può darsi che qualora la si potesse eseguire in un campo più esteso, essa conducesse ad un altro postulato, anche supponendo sempre vero il principio del movimento dei corpi perfettamente rigidi: principio che è pure praticamente approssimativo.
