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| 58 | Dialogo Primo |
in tutto eguali: sì come nell’istesso errore incorrono parlando delle superficie, che per determinar, come spesse volte accade, delle grandezze di diverse Città, intera cognizione gli par d’haverne, qualunque volta sanno la quantità de i recinti di quelle, ignorando che può essere un recinto eguale à un altro, e la piazza contenuta da questo assai maggiore della piazza di quello, il che accade non solamente tra le superficie irregolari, mà trà le regolari, trà le quali quelle di più lati son sempre più capaci di quelle di manco lati; sì che in ultimo il cerchio come Poligono di lati infiniti è capacissimo sopra tutti gli altri Poligoni di egual circuito; di che mi ricordo haverne con gusto particolare veduta la dimostrazione studiando la Sfera del Sacrobosco con un dottissimo Commentario sopra.
Salv. È verissimo: et havendo io ancora incontrato cotesto luogo mi dette occasione di ritrovare, come con una sola, e breve dimostrazione si concluda, il cerchio esser maggiore di tutte le figure regolari isoperimetre; e, dell’altre, quelle di più lati, maggiori di quelle di manco.
Sagr. Et io, che sento tanto diletto in certe proposizioni e dimostrazioni scelte e non triviali, importunandovi vi prego, che me ne facciate partecipe.
Salv. In brevi parole vi spedisco, dimostrando il seguente Teorema, cioè:
Il cerchio è medio proporzionale trà qualsivoglino due Poligoni regolari tra di loro simili, de i quali uno gli sia circoscritto e l’altro gli sia isoperimetro: in oltre, essendo egli minore di tutti i circoscritti, è all’incontro massimo di tutti gl’isoperimetri. De i medesimi poi circoscritti, quelli che hanno più angoli, son minori di quelli, che ne hanno manco: ma all’incontro, de gl’isoperimetri quelli di più angoli son maggiori.
Delli due poligoni simili a, b sia l’a circoscritto al cerchio a, e l’altro b ad esso cerchio sia isoperimetro: dico, il cerchio esser medio proporzionale tra essi. Imperò che (tirato il semidiametro ac)
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