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| delle proporzioni geometriche | 23 |
Assioma VI. — Poste le due grandezze omogenee, , e tali, che la non possa crescere, senza divenir maggiore della , e non possa diminuire senza divenir minore della medesima , la è uguale alla . Questa asserzione è chiara a chi attentamente la considera, tuttavia chi ne volesse la prova potrà formarla così.
I. Primieramente non è minore di , mentre se fosse minore potrebbe crescere in modo, che divenisse eguale a , il che è contro l'ipotesi, la quale esige che non possa crescere senza divernir maggiore di .
II. Secondariamente la stessa non è maggiore di , poichè se fosse maggiore, potrebbe diminuire in maniera, che divenisse eguale a , il che parimente repugna all'ipotesi, la quale richiede che non possa diminuire senza divenire minore di ; adunque non è maggiore di .
Si è provato nel primo punto, che non è minore di , e nel secondo, che non è maggiore della stessa ; adunque la è uguale alla .
Avvertimento. — Ne' due assiomi VII ed VIII allorchè si dirà: la contenenza, ec. che appartiene ad un antecedente in ordine a qualsivoglia aliquota del conseguente, non s'intenderà semplicemente la sola contenenza, che appartiene al medesimo antecedente in ordine a qualsivogliaaliquota del suo conseguente, ma quest'istessa contenenza con di più il resto, che può lasciare la medesima aliquota, sottratta quante volte è possibile dall'antecedente suddetto; dimodochè quando tal resto è nullo, con l'espressione contenenza, ec. denoterà la contenenza soprammentovata con più il detto resto. Servirà quest'avvertimento, per esporre i due assiomi, che sieguono, con maggior brevità, e chiarezza.
Assioma VII. — Se una proporzione è sottratta da un'altra , che abbia lo stesso conseguente, la differenza di queste due proporzioni è la medesima cosa con la proporzione, che l'antecedente mutilato dell'antecedente ha verso il comune conseguente ; cioè è lo stesso che .
