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teoria generale

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Imperocchè supponendo $P-Q=C$, sarà $P-Q+Q=C+Q$, cioè per l'assioma V, $P=C+Q$, e quindi $mP=m(C+Q)$, ma pel corollario XII $m(C+Q)$ è uguale ad $mC+MQ$; adunque $mP=mC+mQ$, e conseguentemente $mP-mQ=mC-mQ$, cioè pel citato assioma V, $mP-mQ=mC$, vale a dire $mC=mP-mQ$, e ponendo in luogo di $C$ il suo valore $P-Q$, sarà finalmente $m(P-Q)=mP-mQ$.

Scolio. — La proposizione V del V libro d'Euclide si riduce al corollario presente.

Corollario XXVIII. — Sieno due proporzioni eguali ${\frac {A}{B}},{\frac {C}{D}}$, e $C$ sia minore di $A$, come $D$ di $B$; io dico, che ${\frac {A-C}{B-D}}$ è uguale a ciascuna delle proporzioni suddette.

Imperocchè designando ${\frac {A}{B}}$ con questa espressione ${\frac {my+r}{ny}}$, e ${\frac {C}{d}}$ con quest'altra ${\frac {my_{0}+r_{0}}{ny_{0}}}$, sarà $A-C$ eguale ad $my+r-my_{0}-r_{0}$, ad

$my-my_{0}+r-r_{0}$, ovvero ad $m[y-y_{0}]+r-r_{0}$

perchè $m[y-y_{0}]$ è uguale ad $my-my_{0}$ in virtù del corollario XXVIII, sarà eziando $B-D$ eguale ad $ny-ny_{0}$, cioè per lo stesso corollario XXVIII, ad $n[y-y_{0}]$; adunque ${\frac {A-C}{B-D}}$ potrà designarsi così:

[1]                                        ${\frac {m[y-y_{0}]+r-r}{n[y-y_{0}]}}$.

Ma questa proporzione [1] è uguale a ciascuna delle due proporzioni ${\frac {my+r}{ny}},{\frac {my_{0}+r_{0}}{ny_{0}}}$; mentre $[y-y_{0}]$ esprime qualsivoglia aliquota del conseguente della proporzione [1], conforme $y$, ed $y_{0}$ esprimono le aliquote simili de' rispettivi conseguenti $B$, e $D$; ed $r-r_{0}$ rappresenta il resto [nullo o reale] che appartiene all'antecedente della stessa proporzione [1] conforme $r$, ed $r_{0}$ rappresentano i resti corrispondenti [nulli o reali] che appartengono ai rispettivi antecedenti $A$, e $C$; aduqnue in virtù delle definizioni X e XI, ${\frac {A-C}{B-D}}={\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}$.

Questo corollario contiene la proposizione XIX del V libro d'Euclide.