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delle proporzioni geometriche | 19 |
Scolio. — V. G. è eguale a . e se rappresenta qualunque numero, , ec è uguale ad , ec.
La proposizione I del V libro d'Euclide si riduce al presente assioma.
Corollario XXII. — Qualunque espressione litterale, ove entrino grandezze affette col segno , venendo moltiplicata per qualsivoglia numero, è uguale a tutte le grandezze, che entrano in detta espressione, moltiplicate ad una ad una per lo stesso numero.
V. G. se , e dinotano qualunque numero è uguale ad , e è uguale ad .
Imperocchè ogni espressione litterale, ove entrino grandezze affette col segno , dee considerarsi come un tutto, le di cui parti sieno le medesime grandezze.
Corollario XXIII. — Se , e esprimono qualsivoglia numero, ed qualunque grandezza; io dico che moltiplicato per è uguale ad moltiplicato per , cioè .
Imperocchè è un tutto, e tutte le sue parti sono ec. cioè tante quante unità contiene il numero ; si ha per tanto , ec., vale a dire è uguale ala presa tante volte, quante unità contiene il numero ; adunque per l'assioma IV moltiplicato per , cioè è uguale ad , ec. vale a dire preso tante volte, quante unità contiene il numero , e conseguentemente per la definizione II, è uguale ad moltiplicato per , cioè .
Corollario XXIV. — Sia qualunque numero di proporzioni eguali, v. g. , ec. io dico, che la somma degli antecedenti tutti sta alla somma di tutti i conseguenti, come l'antecedente di una delle suddette proporzioni sta al suo conseguente.
Impercohhè rappresentando le suddette proporzioni respettivamente così: , ec. la somma di tutti gli antecedenti sarà , cioè
, ec. . ec.;
ma per l'assioma IV , ec. è uguale ad , ec.;