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delle proporzioni geometriche

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Scolio. — V. G. $3(A+B+C)$ è eguale a $3A+3B+3C$. e se $L$ rappresenta qualunque numero, $L(A+B+C+D$, ec$)$ è uguale ad $LA+LB+LC+LD$, ec.

La proposizione I del V libro d'Euclide si riduce al presente assioma.

Corollario XXII. — Qualunque espressione litterale, ove entrino grandezze affette col segno $+$, venendo moltiplicata per qualsivoglia numero, è uguale a tutte le grandezze, che entrano in detta espressione, moltiplicate ad una ad una per lo stesso numero.

V. G. se $m$, e $n$ dinotano qualunque numero $m(y+y_{0}+y_{00})$ è uguale ad $my+my_{0}+my_{00}$, e $n(y+y_{0}+y_{00})$ è uguale ad $ny+ny_{0}+y_{00}$.

Imperocchè ogni espressione litterale, ove entrino grandezze affette col segno $+$, dee considerarsi come un tutto, le di cui parti sieno le medesime grandezze.

Corollario XXIII. — Se $K$, e $L$ esprimono qualsivoglia numero, ed $E$ qualunque grandezza; io dico che $KE$ moltiplicato per $L$ è uguale ad $LE$ moltiplicato per $K$, cioè $L[KE]=K[LE]$.

Imperocchè $KE$ è un tutto, e tutte le sue parti sono $E,E,E,E,$ ec. cioè tante $E$ quante unità contiene il numero $K$; si ha per tanto $KE=E+E+E+E$, ec., vale a dire $KE$ è uguale ala $E$ presa tante volte, quante unità contiene il numero $K$; adunque per l'assioma IV $KE$ moltiplicato per $L$, cioè $L[KE]$ è uguale ad $LE+LE+LE+LE$, ec. vale a dire $LE$ preso tante volte, quante unità contiene il numero $K$, e conseguentemente per la definizione II, $L[KE]$ è uguale ad $LE$ moltiplicato per $K$, cioè $L[KE]=K[LE]$.

Corollario XXIV. — Sia qualunque numero di proporzioni eguali, v. g. ${\frac {A}{B}},{\frac {C}{D}},{\frac {F}{G}}$, ec. io dico, che la somma degli antecedenti tutti sta alla somma di tutti i conseguenti, come l'antecedente di una delle suddette proporzioni sta al suo conseguente.

Impercohhè rappresentando le suddette proporzioni respettivamente così: ${\frac {my+r}{ny}},{\frac {my_{0}+r_{0}}{ny_{0}}},{\frac {my_{00}+r_{00}}{ny_{00}}}$, ec. la somma di tutti gli antecedenti sarà $my+r+my_{0}+r_{0}+my_{00}+r_{00}$, cioè

$[my+my_{0}+my_{00}$, ec. $+r+r_{0}+r_{00}$. ec.$]$;

ma per l'assioma IV $m(y+y_{0}+y_{00}$, ec.$)$ è uguale ad $my+my_{0}+my_{00}$, ec.;