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delle proporzioni geometriche

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tenute respettivamente nelle due ultime, sarà $Y=fx$ , ed $Y_{0}=fx_{0}$ , e sostituendo ne' sopradetti valori di ${\frac {A}{B}}$ , e di ${\frac {A}{B+H}}$ in vece di $Y$ , e di $Y_{0}$ queste loro espressioni, si avrà ${\frac {A}{B}}={\frac {Mfx+R_{0}+d}{Nfx}}$ , ed ${\frac {A}{B+H}}={\frac {Mfx_{0}+R_{0}}{Nfx_{0}}}$ , vale a dire ${\frac {A}{B}}={\frac {Mfh(x)+R_{0}+d}{Nf(x)}}$ , ed ${\frac {A}{B+H}}={\frac {Mf(x_{0})+R_{0}}{Nf(x_{0})}}$ .

Si consideri infine, che $x$ , ed $x_{0}$ sono aliquote simili de' respettivi conseguenti $B$ , cioè $Nf[x]$ , e $B+H$ , cioè $Nf[x_{0}]$ , e che pel corollario III tra le infinite aliquote di $B$ , che rappresenta la $x$ , ve ne ha di quelle, che sono minori di $d$ ; adunque ${\frac {A}{B}}\left[{\text{cioè}}{\frac {Mf[x]+R_{0}+d}{Nf[x]}}\right]$ contiene più volte quale aliquota del suo conseguente $B$ , che ${\frac {A}{B+H}}\left[{\text{cioè}}{\frac {Mf[x_{0}]+R_{0}}{Nf[x_{0}]}}\right]$ non contiene l'aliquota simile del suo conseguente $B+H$ ; e quindi per la definizione XIV ${\frac {A}{B}}$ è maggiore di ${\frac {A}{B+H}}$ .

Il che doveva dimostrarsi.

La seconda parte di questo corollario, che ${\frac {A}{B}}$ sia minore di ${\frac {A}{A+H}}$ si può dimostrare con un raziocinio similissimo a quello, con sui si è provata la prima, assumendo <math<Y</math> per rappresentare le aliquote di $B-H$ grandezza minore, ed $Y_{0}$ per denotare le aliquote simili di $B$ grandezza maggiore, ec. Ma per non replicarlo, basta riflettere, che siccome il conseguente $B$ è minore del conseguente $B+H$ , così il conseguente $B$ è minore del conseguente $B$ ; adunque per la dimostrazione della I parte ${\frac {A}{B}}$ è minore di ${\frac {A}{B+H}}$ .

Il presente corollario può enunciarsi in questo m odo:

Se la grandezza $G$ è maggiore della grandezza $F$ , una medesima grandezza $A$ ha maggior proporzione verso la $F$ minore, ed ha minor proporzione verso la $G$ maggiore.

In questo corollario si comprende la seconda parte della proporizione Viii del V libro d'Euclide.

Corollario XX. — Dai corollarj XVII, XVIII e XIX si raccoglie che:

I. Se si aumenta l'antecedente, o si diminuisce il conseguente, la proporzione cresce;2 — Tomo I.