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delle proporzioni geometriche | 17 |
tenute respettivamente nelle due ultime, sarà , ed , e sostituendo ne' sopradetti valori di , e di in vece di , e di queste loro espressioni, si avrà , ed , vale a dire , ed .
Si consideri infine, che , ed sono aliquote simili de' respettivi conseguenti , cioè , e , cioè , e che pel corollario III tra le infinite aliquote di , che rappresenta la , ve ne ha di quelle, che sono minori di ; adunque contiene più volte quale aliquota del suo conseguente , che non contiene l'aliquota simile del suo conseguente ; e quindi per la definizione XIV è maggiore di .
Il che doveva dimostrarsi.
La seconda parte di questo corollario, che sia minore di si può dimostrare con un raziocinio similissimo a quello, con sui si è provata la prima, assumendo <math<Y</math> per rappresentare le aliquote di grandezza minore, ed per denotare le aliquote simili di grandezza maggiore, ec. Ma per non replicarlo, basta riflettere, che siccome il conseguente è minore del conseguente , così il conseguente è minore del conseguente ; adunque per la dimostrazione della I parte è minore di .
Il presente corollario può enunciarsi in questo m odo:
Se la grandezza è maggiore della grandezza , una medesima grandezza ha maggior proporzione verso la minore, ed ha minor proporzione verso la maggiore.
In questo corollario si comprende la seconda parte della proporizione Viii del V libro d'Euclide.
Corollario XX. — Dai corollarj XVII, XVIII e XIX si raccoglie che:
I. Se si aumenta l'antecedente, o si diminuisce il conseguente, la proporzione cresce;2 — Tomo I.