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dariamente è manifesto altresì, che tutte le suddette aliquote del coneguente $B$, le quali sono minori di $A$, e di $H$, sono contenute meno volte nel minore antecedente $A-H$, che nell'antecedente maggiore $A$.

Nel precedente corollario si contiene la prima parte della proposizione VII del V libro d'Euclide.

Questo corollario può enunciarsi così:

Se la grandezza $G$ è maggiore della grandezza $A$, la prima ha maggior proporzione, che la seconda ad una terza grandezza omognea $B$; e se la grandezza $F$ è minore della grandezza $A$, la prima ò minor proporzione, che la seconda ad una terza grandezza omogenea.

Corollario XVIII. — Nello stesso modo e con più forte ragione si dimostrerà, che se $P$ è minore di $B$, la proporzione ${\frac {A+H}{P}}$ è maggiore di ${\frac {A}{B}}$:

E se $Q$ è maggiore di $B$, la proporzione ${\frac {A-H}{Q}}$ è minore di ${\frac {A}{B}}$.

Imperocchè primieramente rappresenti $Y$ quelle aliquote del conseguente $B$, che secondo il precedente corollario XVIII son contenute in $A+H$ più volte, che in $A$ ed $Y_{0}$ rappresenti l'aliquota simile del conseguente $P$, il quale per l'ipotesi è minore di $B$, sarà per tanto in virtù dell'assioma III, la $Y_{0}$ minore della $Y$, e per conseguenza la $Y_{0}$ sarà contenuta almeno tante volte (se non più) in $A+H$ quante volte vi è contenuta la $Y$; ma la $Y$ è contenuta maggior numero di volte di $A+H$, che in $A$, e quindi per la definizione XVI, ${\frac {A+H}{P}}$ sarà maggiore di ${\frac {A}{B}}$.

Secondariamente denoti la $Y$ quelle aliquote del conseguente $B$, che pel corollario XVII si contengono meno volte in $A-H$, che in $A$, ed $Y_{00}$ esprima l'aliquota simile del conseguente $Q$, il quale essendo per la supposizione maggiore di $B$, la $Y_{00}$ per l'assioma III dovrà essere maggiore della $Y$, e per la conseguenza la $Y_{00}$ sarà contenuta al più tante volte (se non meno) in $A-H$ quante volte vi è contenuta la $Y$, ma la $Y$ è contenuta minor numero di volte in $A-H$, che in $A$; adunque la $Y_{00}$ sarà sempre contenuta meno volte in $A-H$, che in $A$; laonde per la definizione XV, ${\frac {A-H}{Q}}$ sarà minore di ${\frac {A}{B}}$.

Il presente corollario potrebbe esprimersi in questa guisa:

Poste due proporzioni ${\frac {G}{P}}$, ed ${\frac {A}{B}}$, se la prima ha maggior antece-