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delle proporzioni geometriche

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Corollario XI. — Se due proporzioni ${\frac {F}{G}}$, e ${\frac {H}{I}}$ sono eguali ad un'altra proporzione ${\frac {A}{B}}$, saranno eguali tra loro.

II. E se una proporzione ${\frac {A}{B}}$ è uguale a due altre proporzioni ${\frac {F}{G}}$, e ${\frac {H}{I}}$, queste altre due saranno tra loro eguali.

Imperocchè esprimendo ${\frac {A}{B}}$ per ${\frac {my+r}{ny}}$, sarà egualmente nelle supposizioni de' due primi di questo corollario

${\frac {F}{G}}={\frac {my_{0}+r_{0}}{ny_{0}}}$, e ${\frac {H}{I}}={\frac {my_{00}+r_{00}}{ny_{00}}}$,

adunque per le definizioni X, e XI sarà egualmente in ambedue le supposizioni suddette $frac{F}{G}={\frac {H}{I}}$.

III. Se ${\frac {A}{B}}$ è uguale ad ${\frac {F}{G}}$, e ${\frac {F}{G}}={\frac {H}{I}}$.

IV. Ovvero se ${\frac {F}{G}}$ è uguale ad ${\frac {H}{I}}$, ed ${\frac {A}{B}}$ è uguale ad ${\frac {F}{G}}$, sarà ${\frac {A}{B}}$ eguale ad ${\frac {H}{I}}$.

Poichè se ${\frac {F}{G}}$ si designa per ${\frac {my_{0}+r_{0}}{ny_{0}}}$, sarà egualmente nelle supposizioni de' due ultimi punti di questo corollario

${\frac {H}{I}}={\frac {my_{00}+r_{00}}{ny_{00}}}$, ed ${\frac {A}{B}}={\frac {my+r}{ny}}$;

adunque in virtù delle definizioni X, e XI sarà del pari in ciascuna delle due sopradette supposizioni ${\frac {A}{B}}={\frac {H}{I}}$.

Questo corollario comprende la proposizione XI del V libro d'Euclide.

Corollario XII. — Dato che si abbia ${\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}$, e che sia ${\frac {F}{G}}={\frac {A}{B}}$, ed ${\frac {H}{I}}={\frac {C}{D}}$. sarà ancora ${\frac {F}{G}}={\frac {H}{I}}$; imperocchè la proporzionalità ${\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}$ si designerà in questa guisa ${\frac {my+r}{ny}}={\frac {my_{0}+r_{0}}{ny_{0}}}$, e secondo l'ipotesi ${\frac {F}{G}}$ sarà