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teoria generale

II. Similmente, se si sostituiscono in una proporzionalità grandezza eguali in luogo di una, di due, di tre, e anche di tutti e quattro i suoi termini, la proporzionalità non si muta. Ciò è chiaro per la prima parte di questo corollario, poichè la proporzionalità è costituita di due proporzioni, e quando queste non si mutano, nemmeno la proporizonalità si muta.

Avvertimento. — Io mi valerò sovente di questo corollario, e non sempre lo citerò, per abbreviare le dimostrazioni.

Corollario X. — Poste due proporzioni eguali ${\frac {A}{B}},{\frac {C}{D}}$ se l'antecedente di una è uguale, maggiore, o minore del conseguente, anche l'antecedente dell'altra è uguale, ovvero, respettivamente maggiore, o minore del suo conseguente.

Imperocchè rappresentando le due proporzioni eguali così:

${\frac {my+r}{ny}}={\frac {my_{0}+r_{0}}{ny_{0}}}$ ,

è manifesto, che quando $r$ , ed $r_{0}$ denotano zero, acciò uno degli antecedenti sia eguale, ovvero rispettivamente maggiore, e minore del suo conseguente, il numero $m$ dev'essere eguale, ovvero respettivamente maggiore, o minore del numero $n$ , e appunto da questa egualità, maggioranza, o minorità di $m$ in ordine ad $n$ nasce la respettiva egualità, maggioranza, o mioarità dell'altro antecedente, rispetto al suo conseguente.

Alllorchè i resti $r$ , e $r_{0}$ sussistono, è visibile, che niuno degli antecedenti può essere uguale al suo conseguente. Un antecedente poi non può esser maggiore del suo conseguente, se $m$ non supera, o almeno non eguaglia $n$ ; e lo stesso antecedente esser non può minore del suo conseguente, se $m$ non è minore di $n$ , oppure non è nullo, e da tutto ciò risulta la rispettiva maggioranza, o minoranza dall'altro ascendente in riguardo al suo conseguente.

Scolio. — Allorchè si hanno da considerare molte proporzioni tra loro eguali le aliquote simili de' molti iconseguenti potranno esprimersi così $y,y_{0},y_{00},y_{000}$ , ec., dovendo in questi casi la cifra o sola, ovvero replicata, servire unicamente per distinguere le aliquote simili de' diversi tutti; i resti poi (nulli, o reali) che corrisponderanno alle suddette aliquote, potranno così designarsi: $r,r_{0},r_{00},r_{000}$ , ec.