Pagina:Fagnano - Opere Matematiche Volume Primo, 1911.djvu/38

Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta.

delle proporzioni geometriche

9

omogenei tra loro; imperciocchè l'egualità di contenenza con la continua corrispondenza de' resti nulli, o reali, che costituisce la proporzionalità, o sia l'egualità di due proprozioni, può competere agli antecedenti in ordine alle aliquote simili de' loro rispettivi conseguenti, quantunque i due termini di una proporzione sieno d'una specie di grandezza, e i due termini dell'altra proporzione sieno di especie diversa di grandezza.

Corollario VI. — Se sarà ${\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}$ , sarà ancora ${\frac {C}{D}}={A}{B}$ , cioè se à $A.B::C.D$ ., si à altresì $C.D::A.B$ .

Definizione XIII. — Questo modo di argomentare, dicesi, trasponendo; egli è così facile, e naturale, che il più delle volte vien supposto ne' raziocinj senza accennarlo.

Corollario VII. — Tutte le proporzioni d'egualità sono tra loro eguali, v. g. ${\frac {A}{A}}={\frac {B}{B}}={\frac {C}{C}}$ , ec. perchè è manifesto, che l'antecedente di ciascuna di esse contiene in egual numero qualsivoglia aliquota simile al suo conseguente.

Corollario VIII. — Due antecedenti egluali verso due conseguenti hanno egual proporzione, cioè se $A=C$ , e $B=D$ , farà $A.B::CD.$ , perchè per l'assioma III i conseguenti $B$ , e $D$ hanno eguali le loro aliquote simili, ed è evidente, che nne grandezze eguali $A$ , e $C$ si contengono in egual numero, e con resti eguali le suddette aliquote simili, ed eguali.

Questo corollario comprende l'una e l'altra parte della proposizione VII del V libro di Euclide, poichè gli antecedenti, ovvero i conseguenti, che sono oi medesimi, sono eguali.

Scolio. — I. Quando si tratta semplicemente della grandezza in generale, una stessa grandezza posta in due, o più circostanze può, e suole considerarsi come due, o più grandezze eguali, perchè ogni grandezza è uguale a se medesima.

II. E all'incontro, quando si tratta semplicemente del più, e del meno, due, o molte grandezze eguali possono, e sogliono considerarsi, come se fossero una medesima grandezza, e designarsi con una stessa lettera.

Corollario IX. — I. Se si sostituiscono in una proporzione grandezze eguali in logo dell'antecedente, o del conseguente, o d'ambedue, la proporzione non si muta, e ciò per la stessa ragione, che mostra la verità del precedente corollario VII.