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delle proporzioni geometriche

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Definizione IV. — Dico, che una grandezza $y$ è aliquota d'un'altra grandezza $A$, quando la $y$ è contenuta una volta o qualunque numero di volte, e senza resto in $A$. In questo senso ogni tutto è aliquota di se stesso, perchè è contenuto una volta, e senza resto in se medesimo.

Definizione V. — Dico, che $y$ ed $y_{0}$ sono aliquote simili di $A$, e rispettivamente di $B$, quando la $y$ è contenuta senza resto in $A$ tante volte, quante la $y_{0}$ è contenuta senza resto in $B$. In questo senso qualsivoglia tutto è aliquota simile di se medesimo, come qualsivoglia altro tutto lo è di se stesso, cioè $A$ è aliquota finale di $A$, come $B$ di $B$.

Assioma I. — Qualsivoglia tutto può concepirsi diviso in qualsivoglia numero di aliquote.

Corollario II. — Se un tutto è diviso in qualunque numero di aliquote, qualsivoglia altro tutto piò dividersi nello stesso numero di aliquote.

Corollario III. — Qualsivoglia tutto può concepirsi talmente diviso in aliquote, che le medesime aliquote sieno minori d'una grandezza data per piccola che sia; poichè è evidente, che quanto più cresce il numero delle aliquote, tanto minori sono le stesse aliquote.

Corollario IV. — Le aliquote delle aliquote d'un tutto $A$ sono anch'esse aliquote del medesimo tutto $A$; perchè è chiaro, che anche le aliquote delle aliquote sono contenute un numero di volte e senza resto in $A$

Assioma II. — Se le aliquote d'una grandezza $A$ sono eguali, ovvero maggiori, o minori delle aliquote simili d'una grandezza $B$, anche $A$ è uguale, ovvero rispettivamente maggiore, o minore di $B$. Esprimento con $y$, ed $y_{0}$ le rispettive aliquote simili di $A$, e di $B$, $A$ è uguale ad $y+y+y+y$, ec., e la $B$ è similmente uguale ad $y_{0}+y_{0}+y_{0}+y_{0}$ ec., e tante essendo la $y$, quante le $y_{0}$, ciò dimostra ad evidenza l'egualità, maggioranza, o minorità di $A$ in ordine a $B$.

Assioma III- — Se la grandezza $A$ è uguale, ovvero maggiore, o minore della grandezza $B$, anche le aliquote di $A$ sono eguali, ovvero rispettivamente maggiori, e minori delle aliquote simili a $B$.

Scolio. — Chi volesse la prova di questa asserzione, che è chiara per se medesima, potrebbe dedurla dal secondo assioma così:

Se $A$ è uguale a $B$, le aliquote di $A$ non possono essere maggiori,