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introduzione

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qualcosa di trascendente, riguardando la serie come somma di un numero infinito di termini, e ci si sentirebbe quindi autorizzati ad operare su di esse secondo le proprietà della somma, permutandone ad es. l’ordine dei termini; ma in questo modo, p. es. dalla serie convergente

$1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\cdots ,$

possono farsi nascere ad arbitrio serie convergenti verso limiti diversi, o anche serie divergenti o indeterminate.

«Eliminare ogni processo trascendente di definizione e di ragionamento»: ecco la condizione essenziale per intendere il calcolo infinitesimale, che il Cesaro esprime al principio delle sue belle lezioni, avvertendo il lettore di bandire dalla mente ogni idea metafisica!

Agl’insegnamenti che ci vengono porti dall’analisi infinitesimale, aggiungiamo quelli che scaturiscono dalla moderna teoria degli insiemi.

Qui il processo di definizione trascendente si è affacciato nella costruzione stessa di certi «insiemi» presi come «totalità degli infiniti enti cui spetta un certo carattere assegnato».

Fra gli esempi che potremo citare (posti in luce dagli studii di Cantor, Du Bois Reymond, ecc.) ne scegliamo uno semplicissimo su cui il Russell ha richiamato recentemente l’attenzione dei geometri.

In più modi si può costruire un insieme

$s\equiv [\alpha ],$

composto di enti qualsiansi $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$...., il quale non contenga se stesso fra i suoi elementi (tale dunque che nessuno degli enti $\alpha$ coincida con $s$).

Ora definiamo $\Sigma$ come l’insieme di tutti gli insiemi $s$ cui spetta l’indicata proprietà:

$\Sigma \equiv [s].$

Si ha anzitutto che $\Sigma$ non deve trovarsi fra gli elementi $s$, altrimenti si contraddice alla proprietà supposta per gli $s$. Ma d’altra parte se $\Sigma$ si trova fuori dell’insieme $[s]$, questo insieme non esaurisce tutti gli $s$ possibili che godono della proprietà anzidetta.

La contraddizione mostra che il concetto di $\Sigma$ è illusorio, e così si rende palese la viziosità del processo trascendente con cui $\Sigma$ è stato definito.