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| 14 | capitolo i |
La prima cosa che ci viene insegnata da questa critica è che la parola «infinito» non può applicarsi ad alcun numero o ad alcuna quantità data, ma denota soltanto un modo di accrescimento di una quantità variabile, la quale sia suscettibile di ricevere valori più alti di qualsiasi valore fisso prestabilito. Ciò si esprime appunto dicendo che l’infinito non ha senso attuale secondo l’accezione di Leibniz1, ma soltanto potenziale o genetico.
Lo stesso vale per l’infinitesimo.
L’importanza di tale modo di concepire le cose consiste nel riconoscere assurda la pretesa di definire un numero, per mezzo di una serie indefinita, come ultimo termine di questa. Può darsi che fuori della serie si trovi veramente un numero che ne costituisca il limite, al quale i termini della serie suddetta vadano avvicinandosi; ma l’esistenza di questo limite non esprime in sostanza che una proprietà del modo di variare dei termini di una altra serie, costituita dalle differenze tra esso e i termini della serie primitiva. Pertanto l’esistenza del limite non può argomentarsi dal solo fatto dell’esistenza della serie, ossia il limite non può esser definito esclusivamente per mezzo di questa, ma soltanto paragonando la serie a qualcosa che ne sia dato indipendentemente al di fuori.
Il valore pratico di queste affermazioni è ben noto oramai a tutti coloro che conoscono l’Analisi infinitesimale, perciocchè gli algoritmi infiniti danno origine generalmente a serie non dotate di limite, ed il ragionare come se queste fossero capaci di definire un tal limite conduce a singolarissimi assurdi.
P. es., le serie ottenute con un processo infinito di sommazione possono presentarsi (oltrechè come convergenti verso un limite) come divergenti o indeterminate; appartengono rispettivamente a queste due ultime categorie le serie
e
Orbene l’uso di queste serie nel calcolo, permette di dimostrare l’uguaglianza di due numeri qualsiansi!
Nè basta; chè, pur nel maneggio delle serie convergenti, occorre non dimenticare che con esse si rappresenta solo convenzionalmente un numero (limite) fuori di esse; dal dimenticarlo si sarebbe tratti invero a far posto a
- ↑ A vero dire questa affermazione deve essere modificata per riguardo ai sistemi di numeri non archimedei, costruiti recentemente, in varii modi, da Veronese, Levi-Civita, Hilbert, ecc. Ci sia concesso di lasciare da parte codeste costruzioni: e basti avvertire che esse non implicano l’uso di processi di definizione trascendenti.
