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| 6 | capitolo i |
colo tuttavia resisteva ai primi analisti del secolo passato. Soltanto ventiquattro anni or sono la difficoltà è stata sciolta! Ma il modo come si pervenne a tale resultato, ed il senso stesso della ottenuta risoluzione, hanno il maggiore interesse in ordine al nostro scopo.
«Quadrare il cerchio» significa, per chi non ne avesse esatta nozione, «costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato». Che un tale quadrato esista, ragioni di continuità facilmente lo dimostrano, poichè il lato del quadrato stesso può venire agevolmente costruito, quando si abbia un segmento uguale alla lunghezza della circonferenza.
Questa osservazione basta ad accertarci che il problema proposto non è assolutamente impossibile. Eppure tutti gli sforzi, rinnovati, quasi senza tregua, per venti secoli, dovevano necessariamente infrangersi contro l’insufficienza dei mezzi che si pretendeva di porre in opera.
Nè alcuna superiorità d’ingegno ci avrebbe dato la chiave dell’enigma, se una nuova critica non avesse chiarito gli antichi concetti relativi alla risoluzione dei problemi geometrici.
La riga e il compasso sono i soli istrumenti che la Geometria euclidea adoperò nelle sue costruzioni. E sebbene non sia fuor di luogo supporre, che ai greci stessi si sia affacciato il dubbio, relativamente alla sufficienza di tali mezzi in ordine ai tre problemi celebri di cui non fu loro dato trionfare, pure mancò ad essi la possibilità di accertarsene colla Analisi.
La cosa fu messa per noi in una nuova luce, da poi che Cartesio ebbe fondato la Geometria analitica. Apparve allora il vero senso della questione, intorno a cui tanti sforzi si spesero invano:
«Operando sul diametro di un cerchio, mediante la riga e il compasso, si può costruire il lato del quadrato avente la stessa area del cerchio, o (ciò che condurrebbe al medesimo scopo) si può costruire un segmento uguale alla lunghezza della circonferenza?»
Così la parola «costruire» assumeva un senso determinato in ordine a certi istrumenti (riga e compasso) di cui esclusivamente si voleva far uso, onde il problema proposto appariva sotto un aspetto nuovo.
Se la lunghezza della circonferenza deve essere costruibile nel modo accennato, il numero che esprime il rapporto di questa al diametro, deve godere di certe proprietà analitiche ben determinate.
Diventa quindi una questione precisa di sapere se tali proprietà gli appartengano. E sotto questa forma si vede a priori come il problema ammetta una risposta, affermativa o negativa.
La questione fu risolta, nel 1882, per opera del Lindemann, il quale felicemente riuscì a estendere ad un campo più largo di numeri i metodi sapientemente immaginati dallo Hermite nello studio del numero e, base dei logaritmi neperiani.
