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3 - Codifica di sorgente

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$p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma _{x}^{2}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}}$

$-log_{2}p(x)=-{\frac {ln\ p(x)}{ln\ 2}}={\frac {1}{ln\ 2}}\left(ln{\sqrt {2\pi \sigma _{x}^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right)$

$H(x)={\frac {1}{ln\ 2}}\left(ln{\sqrt {2\pi \sigma _{x}^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\ dx+{\frac {1}{2\sigma _{x}^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\ x^{2}\ dx\right)$

$={\frac {1}{ln\ 2}}\left(ln{\sqrt {2\pi \sigma _{x}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{ln\ 2}}\left(ln{\sqrt {2\pi \sigma _{x}^{2}}}+ln\ e^{1/2}\right)={\frac {ln{\sqrt {2\pi e\sigma _{x}^{2}}}}{ln\ 2}}$

$H(x)=log_{2}{\sqrt {2\pi e\sigma _{x}^{2}}}$

(3.3)

Tornando alla rate-distortion function, essa può essere descritta come

$R(D)=min[H(y)]=min[H(x)-H(e)]=H(x)-max[H(e)]$

(3.4)

Analizzando il segnale di errore, dato che massimizzarne l’entropia equivale ad associare ad esso una distribuzione gaussiana ed indicando con D = e_q² la sua potenza, si ottiene

$R(D)=log_{2}{\sqrt {2\pi e\sigma _{x}^{2}}}-log_{2}{\sqrt {2\pi eD}}$

$R(D)={\frac {1}{2}}log_{2}{\frac {\sigma _{x}^{2}}{D}}$

(3.5)

Invertendo tale relazione si riottiene il legame già ricavato tra distorsione e numero di bit per campione

$D(R)=2^{2R}\sigma _{x}^{2}$

$10\ log_{10}D=-6R+10\ log_{1}0\sigma _{x}^{2}$

(3.6)

Per segnali a distribuzione non gaussiana, la H(x) è inferiore a quella di segnali gaussiani, per cui l’espressione della R(D) ricavata ne rappresenta un limite superiore. D’altra parte, anche la distribuzione dei segnale d’errore non necessariamente sarà gaussiana, per cui, il calcolo della rate-distortion function