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Codifica numerica del segnale audio

La distribuzione di probabilità all'interno dei singoli quanti p(e_i), d’altra parte, è legata a quella del segnale p(x). Infatti essa è pari alla distribuzione di probabilità p(x) condizionata dall'appartenenza a X_i, per cui vale

$p(e_{i})={\begin{cases}{\frac {p(x)}{P(x_{i})}};&x\in X_{i}\\0&altrimenti\end{cases}}$

(2.54)

La p(e), quindi, si ottiene dalla somma di sezioni della p(x) (una per ciascun Xi), traslate centrandole nell'origine. Anche se le singole p(e_i) risultano essere non costanti, la loro somma tende a distribuirsi uniformemente già per un numero di bit di quantizzazione R ≥ 2, come mostrato in figura 2.12 per il caso di un segnale con distribuzione gaussiana e quantizzazione uniforme ottima.

Passando allo spettro dell’errore di quantizzazione, esso può essere stimato qualitativamente analizzando l’andamento del segnale nel tempo. Se il numero di livelli di quantizzazione risulta essere elevato ed il segnale non eccessivamente correlato, l’errore di quantizzazione è caratterizzato da rapidi cambiamenti di segno per il continuo attraversamento da parte del segnale dei differenti livelli di quantizzazione. Ciò porta ad una densità spettrale di potenza del segnale d’errore estremamente estesa approssimabile a quella di rumore bianco (fig. 2.13). Con tale ipotesi di distribuzione uniforme, noto che la potenza dell’errore di quantizzazione nella banda ± f_s/2 è pari a Δ²/12, la sua densità spettrale di potenza S_e(f) è pari a

$S_{e}(f)={\frac {\Delta ^{2}}{12}}{\frac {1}{f_{s}}}$

(2.55)

L’ipotesi fatta di quantizzazione con un numero elevato di livelli, però, è essenziale. Infatti, un’analisi della reale distribuzione spettrale di potenza del segnale d’errore mostra che essa non si mantiene costante, ma, come mostrato in figura 2.14, decresce all'aumentare della frequenza in maniera tanto più sensibile quanto meno elevato è il numero di bit del quantizzatore. L’approssimazione di spettro piatto, però, risulta sufficiente per il seguito della trattazione.

L’analisi precedente fatta sul segnale d’errore era relativa a segnali continui. Passando all'analisi dei segnali campionati, è conveniente ricavare lo spettro del rumore di quantizzazione campionato e c (t) come trasformata della