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Codifica numerica del segnale audio

2.2.3 Quantizzazione uniforme ottima

Si vuole determinare la struttura di un quantizzatore in grado di fornire il minimo valore di distorsione e_q² per un dato numero di bit per campione. Per un quantizzatore uniforme, ciò si traduce nella determinazione del suo passo di quantizzazione dato che, fissato R, ne viene contemporaneamente fissato l’altro suo parametro caratteristico, che è il livello di saturazione. È evidente che se una diminuzione del passo di quantizzazione riduce la componente granulare del rumore, dall'altra ne aumenta la componente di sovraccarico e viceversa, per cui il passo di quantizzazione ottimo sarà tale da minimizzare contemporaneamente tali componenti. Indicando con y l’uscita del quantizzatore, la distorsione media provocata dalla quantizzazione, utilizzando come sua misura lo scarto quadratico medio, è pari a

$D=\int _{-\infty }^{\infty }(y-x)^{2}p(x)dx$

(2.50)

che per un quantizzatore uniforme diventa

$D=2\sum _{k=1}^{{\frac {L}{2}}-1}\int _{(k-1)\Delta }^{k\Delta }\left[{\frac {(2k-1)\Delta }{2}}-x\right]^{2}p(x)dx$

$+2\int _{({\frac {L}{2}}-1)\Delta }^{\infty }\left[{\frac {(L-1)\Delta }{2}}-x\right]^{2}p(x)dx$

(2.51)

Il minimo di tale funzione si ottiene annullando la derivata rispetto alla Δ come

$\sum _{k=1}^{{\frac {L}{2}}-1}(2k-1)\int _{(k-1)\Delta }^{k\Delta }\left[{\frac {(2k-1)\Delta }{2}}-x\right]^{2}p(x)dx$

$+2(L-1)\int _{({\frac {L}{2}}-1)\Delta }^{\infty }\left[{\frac {(L-1)\Delta }{2}}-x\right]p(x)dx=0$

(2.52)

La soluzione a questo problema è ricavabile per via numerica e viene riportata in tabella per le distribuzioni di probabilità uniforme, gaussiana, laplaciana e gamma [Jay84]: