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2 - Rappresentazione numerica dei segnali

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$2\int _{0}^{V}{\frac {p(x)}{f'^{2}(x)}}dx\cong 2\int _{0}^{V}p(x)dx\cong 1$

(2.44)

per cui

$e_{g}^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{12}}={\frac {V^{2}}{3n^{2}}}={\frac {V^{2}}{3}}2^{-2R}=\epsilon _{x}^{2}\sigma _{x}^{2}2^{-2R}$

(2.45)

dove ε_x² è una costante (> 1) che lega gli estremi di saturazione alla varianza del segnale. Conformemente a quanto ci si aspettava, dunque, il rumore di quantizzazione è inversamente proporzionale al numero di bit utilizzati nella codifica. Per semplificare ulteriormente tale relazione, è conveniente esprimerla in unità logaritmiche, ottenendo

$10\ log\ e_{g}^{2}=10\ log\ V^{2}-10\ log\ 3-10\ log\ 2^{-2R}=20\ log\ V-4.77-20R\ log\ 2$

(2.46)

Trascurando i termini costanti che appaiono nell'equazione, si ottiene

$e_{g}^{2}=-6R\ dBm0$

(2.47)

Questa è la cercata relazione che lega il rumore di quantizzazione al numero di bit utilizzati nella codifica. Essa mostra che il rumore si riduce di 6 dB per ogni bit utilizzato nel quantizzatore. A questo punto è possibile fissare il numero di bit utilizzati nella quantizzazione in funzione delle caratteristiche del segnale (fig. 2.10). Il parametro da valutare è la dinamica, cioè il rapporto tra il massimo ed il minimo livello utile del segnale. Infatti, scelto il livello di saturazione del quantizzatore pari al massimo livello del segnale, il minimo livello utile del segnale stesso deve risultare superiore al livello del rumore di quantizzazione. Ponendo pari a 0 dB il livello massimo del segnale, il minimo è posto ad un livello numericamente pari alla dinamica. Per fissare l’errore di quantizzazione al di sotto del livello minimo tramite la relazione approssimata trovata, è necessario adottare nel quantizzatore un numero di bit maggiore del valore che si ottiene dividendo la dinamica per 6. Per il segnale telefonico, ad esempio, caratterizzato da una dinamica maggiore di 50 dB, è necessario adottare una quantizzazione lineare con un numero di bit maggiore di 10. Passando alle ampiezze, porre la potenza del rumore di quantizzazione al di