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2 - Rappresentazione numerica dei segnali

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Sempre per il segnale telefonico, una buona approssimazione della distribuzione delle ampiezze a lungo termine (intervalli dell’ordine del secondo) è data dalla distribuzione gamma [Jay84], che ha densità di probabilità

$p(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\epsilon -1}}{\delta ^{\epsilon }\Gamma (\epsilon )}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}\to {\frac {4{\sqrt {3}}}{\sqrt {8\pi \sigma _{x}|x|}}}e^{-{\frac {\sqrt {3}}{2\sigma _{x}}}|x|}$

(2.40)

Un’ulteriore utile approssimazione di questa distribuzione è quella esponenziale (o di Laplace), che ha densità di probabilità

$p(x)={\frac {\alpha }{2}}e^{-\alpha |x|}={\frac {\sqrt {2}}{2\sigma _{x}}}e^{-{\frac {\sqrt {2}}{\sigma _{x}}}|x|};x\in (-\infty ,+\infty )$

(2.41)

dove $\alpha ={\sqrt {2}}/\sigma _{x}$. In tal caso il calcolo dell’errore di sovraccarico fornisce

$e_{s}^{2}=2\int _{V}^{\infty }(x-V)^{2}p(x)dx=\alpha \int _{V}^{\infty }(x^{2}-2Vx+V^{2})e^{-\alpha x}dx$

$-\left\{\left[x^{2}-2\left({\frac {1}{\alpha }}+V\right)x+{\frac {2}{\alpha ^{2}}}+{\frac {2V}{\alpha }}+V^{2}\right]e^{-\alpha x}\right\}_{V}^{\infty }$

$e_{s}^{2}=\sigma _{x}^{2}e^{-{\frac {\sqrt {2}}{\sigma _{x}}}V}$

(2.41)

Analizzando l’andamento del rumore di sovraccarico per queste tre distribuzioni (fig. 2.9), si nota come l’effetto della saturazione sia tanto maggiore quanto maggiore è il fattore di cresta del segnale, cioè del rapporto tra valore di picco e valore efficace (il valore di picco è definito come il valore del segnale che non viene superato con probabilità del 99 %). Confrontando, ad esempio, un segnale con distribuzione gaussiana (la cui distribuzione decresce proporzionalmente a e^-x2) con un segnale con distribuzione esponenziale (la cui distribuzione decresce proporzionalmente a e^-x), si nota come, a parità di valore efficace, il secondo risenta maggiormente degli effetti della saturazione a causa della maggiore estensione delle code della funzione densità di probabilità.

Riassumendo, fissato il limite di saturazione, la potenza della relativa componente dell’errore di quantizzazione dipende dalla funzione densità di