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Codifica numerica del segnale audio

di segnali sinusoidali il rapporto S/N va all'infinito per A ≤ V, per cui la scelta più ovvia per il limite di saturazione è V ≥ A.

Passando a segnali non deterministici, una distribuzione di particolare interesse è quella gaussiana

$p(x)={\sqrt {\frac {\beta }{\pi }}}e^{-\beta x^{2}}={\frac {1}{\sigma _{x}{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2\sigma _{x}^{2}}}x^{2}};x\in (-\infty ,+\infty )$

(2.36)

dove β = 1 / (2 σ_x²) = 1 /(2 x_eff²), in quanto corrispondente alla distribuzione a breve termine (intervalli di circa 10 ms) delle ampiezze per il segnale telefonico [Jay84]. L’espressione per l’errore di sovraccarico che si ottiene nel caso di distribuzione gaussiana è data da

$e_{s}^{2}=2{\sqrt {\frac {\beta }{\pi }}}\int _{V}^{\infty }(x-V)^{2}e^{-\beta x^{2}}dx$

$=2{\sqrt {\frac {\beta }{\pi }}}\left\{\int _{V}^{\infty }x^{2}e^{-\beta x^{2}}dx-2V\int _{V}^{\infty }xe^{-\beta x^{2}}dx+V^{2}\int _{V}^{\infty }e^{-\beta x^{2}}dx\right\}$

(2.37)

Procedendo al calcolo dei singoli integrali si ottiene

$\int _{V}^{\infty }e^{-\beta x^{2}}dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{\beta }}}[1-erf({\sqrt {\beta }}V)];(per\ definizione)$

$\int _{V}^{\infty }xe^{-\beta x^{2}}dx={\frac {1}{2\beta }}e^{-\beta V^{2}};(tramite\ sostituzione\ t=\beta x^{2})$

$\int _{V}^{\infty }x^{2}e^{-\beta x^{2}}dx={\frac {V}{2\beta }}e^{-\beta V^{2}}+{\frac {\sqrt {\pi }}{4{\sqrt {\beta ^{3}}}}}[1-erf({\sqrt {\beta }}V)];$

(2.38)

per cui

$e_{s}^{2}=2{\sqrt {\frac {\beta }{\pi }}}\left\{{\frac {\sqrt {\pi }}{4{\sqrt {\beta ^{3}}}}}(1+2\beta V^{2})[1-erf({\sqrt {\beta }}V)]-{\frac {V}{2\beta }}e^{-\beta V^{2}}\right\}$

$=\sigma _{x}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left\{\sigma _{x}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(1+{\frac {V^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}\right)\left[1-erf\left({\frac {V}{\sigma _{x}{\sqrt {2}}}}\right)\right]-Ve^{-{\frac {1}{2}}{\frac {V^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}}\right\}$

(2.39)